Theorem fnsmntlem 7225

Description: Lemma for fnsmnt 7226.

Hypothesis

Ref	Expression
fnsmntlem.1	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
fnsmntlem	|- sum_j e. (0...N)((j + 1)^2) = sum_k e. (1...(N + 1))(k^2)

Distinct variable group:   j,N,k

Proof of Theorem fnsmntlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnsmntlem.1	. . . . 5 |- N e. NN
2	1	nnnn0 6109	. . . 4 |- N e. NN0
3		elnn0uz 6442	. . . 4 |- (N e. NN0 <-> N e. (ZZ>` 0))
4	2, 3	mpbi 189	. . 3 |- N e. (ZZ>` 0)
5		1z 6161	. . 3 |- 1 e. ZZ
6		elfzelz 6483	. . . . . 6 |- (j e. (0...N) -> j e. ZZ)
7		zcnt 6142	. . . . . 6 |- (j e. ZZ -> j e. CC)
8	6, 7	syl 10	. . . . 5 |- (j e. (0...N) -> j e. CC)
9		peano2cn 5356	. . . . 5 |- (j e. CC -> (j + 1) e. CC)
10		sqclt 6612	. . . . 5 |- ((j + 1) e. CC -> ((j + 1)^2) e. CC)
11	8, 9, 10	3syl 20	. . . 4 |- (j e. (0...N) -> ((j + 1)^2) e. CC)
12	11	rgen 1701	. . 3 |- A.j e. (0...N)((j + 1)^2) e. CC
13		fsumshft 7031	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` 0) /\ 1 e. ZZ /\ A.j e. (0...N)((j + 1)^2) e. CC) -> sum_j e. (0...N)((j + 1)^2) = sum_k e. ((0 + 1)...(N + 1))[_(k - 1) / j]_((j + 1)^2))
14	4, 5, 12, 13	mp3an 918	. 2 |- sum_j e. (0...N)((j + 1)^2) = sum_k e. ((0 + 1)...(N + 1))[_(k - 1) / j]_((j + 1)^2)
15		ax1cn 5281	. . . . 5 |- 1 e. CC
16	15	addid2 5343	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
17	16	opreq1i 3977	. . 3 |- ((0 + 1)...(N + 1)) = (1...(N + 1))
18		elfzelz 6483	. . . . 5 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> k e. ZZ)
19		zqt 6261	. . . . . . 7 |- (k e. ZZ -> k e. QQ)
20		zqt 6261	. . . . . . . 8 |- (1 e. ZZ -> 1 e. QQ)
21	5, 20	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 1 e. QQ
22	19, 21	jctir 293	. . . . . 6 |- (k e. ZZ -> (k e. QQ /\ 1 e. QQ))
23		qsubclt 6273	. . . . . 6 |- ((k e. QQ /\ 1 e. QQ) -> (k - 1) e. QQ)
24	22, 23	syl 10	. . . . 5 |- (k e. ZZ -> (k - 1) e. QQ)
25		csbopr1g 3994	. . . . 5 |- ((k - 1) e. QQ -> [_(k - 1) / j]_((j + 1)^2) = ([_(k - 1) / j]_(j + 1)^2))
26	18, 24, 25	3syl 20	. . . 4 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> [_(k - 1) / j]_((j + 1)^2) = ([_(k - 1) / j]_(j + 1)^2))
27	18, 19	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> k e. QQ)
28	27, 21	jctir 293	. . . . . . 7 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> (k e. QQ /\ 1 e. QQ))
29		csbopr1g 3994	. . . . . . 7 |- ((k - 1) e. QQ -> [_(k - 1) / j]_(j + 1) = ([_(k - 1) / j]_j + 1))
30	28, 23, 29	3syl 20	. . . . . 6 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> [_(k - 1) / j]_(j + 1) = ([_(k - 1) / j]_j + 1))
31		csbvarg 2024	. . . . . . . 8 |- ((k - 1) e. QQ -> [_(k - 1) / j]_j = (k - 1))
32	18, 24, 31	3syl 20	. . . . . . 7 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> [_(k - 1) / j]_j = (k - 1))
33	32	opreq1d 3981	. . . . . 6 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> ([_(k - 1) / j]_j + 1) = ((k - 1) + 1))
34		zcnt 6142	. . . . . . . . 9 |- (k e. ZZ -> k e. CC)
35	18, 34	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> k e. CC)
36	35, 15	jctir 293	. . . . . . 7 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> (k e. CC /\ 1 e. CC))
37		npcant 5411	. . . . . . 7 |- ((k e. CC /\ 1 e. CC) -> ((k - 1) + 1) = k)
38	36, 37	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> ((k - 1) + 1) = k)
39	30, 33, 38	3eqtrd 1514	. . . . 5 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> [_(k - 1) / j]_(j + 1) = k)
40	39	opreq1d 3981	. . . 4 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> ([_(k - 1) / j]_(j + 1)^2) = (k^2))
41	26, 40	eqtrd 1510	. . 3 |- (k e. ((0 + 1)...(N + 1)) -> [_(k - 1) / j]_((j + 1)^2) = (k^2))
42	17, 41	sumeq12i 6989	. 2 |- sum_k e. ((0 + 1)...(N + 1))[_(k - 1) / j]_((j + 1)^2) = sum_k e. (1...(N + 1))(k^2)
43	14, 42	eqtr 1498	1 |- sum_j e. (0...N)((j + 1)^2) = sum_k e. (1...(N + 1))(k^2)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  [_csb 2004  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   - cmin 5304  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310  QQcq 5311  2c2 5963  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468  ^cexp 6569  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  fnsmnt 7226

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain