Theorem fo1st 4152

Description: The 1st function maps the universe onto the universe.

Assertion

Ref	Expression
fo1st	|- 1st:V-onto->V

Proof of Theorem fo1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fo 3277	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = U.dom { x}}:V-onto->V <-> ({<.x, y>. | y = U.dom { x}} Fn V /\ ran {<.x, y>. | y = U.dom { x}} = V))
2		snex 2826	. . . . . 6 |- {x} e. V
3	2	dmex 3447	. . . . 5 |- dom { x} e. V
4	3	uniex 3093	. . . 4 |- U.dom { x} e. V
5		visset 1859	. . . . . 6 |- x e. V
6	5	biantrur 730	. . . . 5 |- (y = U.dom { x} <-> (x e. V /\ y = U.dom { x}))
7	6	opabbii 2745	. . . 4 |- {<.x, y>. | y = U.dom { x}} = {<.x, y>. | (x e. V /\ y = U.dom { x})}
8	4, 7	fnopab2 3725	. . 3 |- {<.x, y>. | y = U.dom { x}} Fn V
9		visset 1859	. . . . . . . . 9 |- y e. V
10	9	op1sta 3579	. . . . . . . 8 |- U.dom {<.y, y>.} = y
11	10	eqcomi 1522	. . . . . . 7 |- y = U.dom {<.y, y>.}
12		opex 2858	. . . . . . . 8 |- <.y, y>. e. V
13		sneq 2475	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.y, y>. -> {x} = {<.y, y>.})
14	13	dmeqd 3404	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.y, y>. -> dom { x} = dom {<.y, y>.})
15	14	unieqd 2578	. . . . . . . . 9 |- (x = <.y, y>. -> U.dom { x} = U.dom {<.y, y>.})
16	15	eqeq2d 1529	. . . . . . . 8 |- (x = <.y, y>. -> (y = U.dom { x} <-> y = U.dom {<.y, y>.}))
17	12, 16	cla4ev 1915	. . . . . . 7 |- (y = U.dom {<.y, y>.} -> E.x y = U.dom { x})
18	11, 17	ax-mp 7	. . . . . 6 |- E.x y = U.dom { x}
19		equid 1162	. . . . . 6 |- y = y
20	18, 19	2th 723	. . . . 5 |- (E.x y = U.dom { x} <-> y = y)
21	20	abbii 1618	. . . 4 |- {y | E.x y = U.dom { x}} = {y | y = y}
22		rnopab 3440	. . . 4 |- ran {<.x, y>. | y = U.dom { x}} = {y | E.x y = U.dom { x}}
23		df-v 1858	. . . 4 |- V = {y | y = y}
24	21, 22, 23	3eqtr4i 1548	. . 3 |- ran {<.x, y>. | y = U.dom { x}} = V
25	1, 8, 24	mpbir2an 735	. 2 |- {<.x, y>. | y = U.dom { x}}:V-onto->V
26		df-1st 4140	. . 3 |- 1st = {<.x, y>. | y = U.dom { x}}
27		foeq1 3775	. . 3 |- (1st = {<.x, y>. | y = U.dom { x}} -> (1st:V-onto->V <-> {<.x, y>. | y = U.dom { x}}:V-onto->V))
28	26, 27	ax-mp 7	. 2 |- (1st:V-onto->V <-> {<.x, y>. | y = U.dom { x}}:V-onto->V)
29	25, 28	mpbir 188	1 |- 1st:V-onto->V

Syntax hints:   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  {cab 1505  Vcvv 1857  {csn 2467  <.cop 2469  U.cuni 2569  {copab 2740  dom cdm 3251  ran crn 3252   Fn wfn 3258  -onto->wfo 3261  1stc1st 4138

This theorem is referenced by:  1stcof 4160  df1st2 4188  1stconst 4190  fparlem1 4199  fsplit 4204  ruclem10 7731  bcthlem3 8212  vafval 8469  smfval 8471  0vfval 8472  vsfval 8501  prj1 10809  imfstnrelc 10810  domval 11177  codval 11178  idval 11179  extrdom 11236  extrcod 11237  extrid 11239  issubcat 11299  filnetlem5 11767  filnet 11768  upxp 11822  tx1cn 11976  uptx 11978  txcnopab 11980  2txcn 11982  heiborlem33 12043  heiborlem34 12044

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fo 3277  df-1st 4140

Copyright terms: Public domain