MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodom Unicode version

Theorem fodom 8117
Description: An onto function implies dominance of domain over range. Lemma 10.20 of [Kunen] p. 30. This theorem uses the Axiom of Choice ac7g 8069. AC is not needed for finite sets - see fodomfi 7103. See also fodomnum 7652. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
fodom.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fodom  |-  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A )

Proof of Theorem fodom
StepHypRef Expression
1 fodom.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 numth3 8065 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  dom  card )
3 fodomnum 7652 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
41, 2, 3mp2b 11 1  |-  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1621   _Vcvv 2763   class class class wbr 3997   dom cdm 4661   -onto->wfo 4671    ~<_ cdom 6829   cardccrd 7536
This theorem is referenced by:  fodomg  8118  brdom3  8121  brdom5  8122  brdom4  8123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-ac2 8057
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-suc 4370  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-card 7540  df-acn 7543  df-ac 7711
  Copyright terms: Public domain W3C validator