MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodom Unicode version

Theorem fodom 8151
Description: An onto function implies dominance of domain over range. Lemma 10.20 of [Kunen] p. 30. This theorem uses the Axiom of Choice ac7g 8103. AC is not needed for finite sets - see fodomfi 7137. See also fodomnum 7686. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
fodom.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fodom  |-  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A )

Proof of Theorem fodom
StepHypRef Expression
1 fodom.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 numth3 8099 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  dom  card )
3 fodomnum 7686 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
41, 2, 3mp2b 9 1  |-  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1686   _Vcvv 2790   class class class wbr 4025   dom cdm 4691   -onto->wfo 5255    ~<_ cdom 6863   cardccrd 7570
This theorem is referenced by:  fodomg  8152  brdom3  8155  brdom5  8156  brdom4  8157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-ac2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-suc 4400  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-card 7574  df-acn 7577  df-ac 7745
  Copyright terms: Public domain W3C validator