Theorem fodomg 4809

Description: An onto function implies dominance of domain over range.

Assertion

Ref	Expression
fodomg	|- (A e. C -> (F:A-onto->B -> B ~<_ A))

Proof of Theorem fodomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foeq2 3675	. . 3 |- (x = A -> (F:x-onto->B <-> F:A-onto->B))
2		breq2 2628	. . 3 |- (x = A -> (B ~<_ x <-> B ~<_ A))
3	1, 2	imbi12d 628	. 2 |- (x = A -> ((F:x-onto->B -> B ~<_ x) <-> (F:A-onto->B -> B ~<_ A)))
4		visset 1816	. . 3 |- x e. V
5	4	fodom 4808	. 2 |- (F:x-onto->B -> B ~<_ x)
6	3, 5	vtoclg 1850	1 |- (A e. C -> (F:A-onto->B -> B ~<_ A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  -onto->wfo 3186   ~<_ cdom 4371

This theorem is referenced by:  imadomg 4816  fnrndomg 4817

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain