MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Unicode version

Theorem fofi 7075
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 7068 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
2 domfi 7017 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
31, 2syldan 458 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   class class class wbr 3963   -onto->wfo 4636    ~<_ cdom 6794   Fincfn 6796
This theorem is referenced by:  f1fi  7076  imafi  7081  f1opwfi  7092  indexfi  7096  intrnfi  7103  infpwfien  7622  ttukeylem6  8074  fseqsupcl  10970  vdwlem6  12960  0ram2  12995  0ramcl  12997  mplsubrglem  16110  tgcmp  17055  hauscmplem  17060  1stcfb  17098  1stckgenlem  17175  ptcnplem  17242  txtube  17261  txcmplem1  17262  tmdgsum2  17706  tsmsf1o  17754  tsmsxplem1  17762  ovolicc2lem4  18806  i1fadd  18977  i1fmul  18978  itg1addlem4  18981  i1fmulc  18985  mbfi1fseqlem4  19000  limciun  19171  erdszelem2  23060  f1ofi  24401  comppfsc  25639  istotbnd3  25827  sstotbnd  25831  prdsbnd  25849  cntotbnd  25852  heiborlem1  25867  heibor  25877  lmhmfgima  26514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-1o 6412  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6800
  Copyright terms: Public domain W3C validator