MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Unicode version

Theorem fofi 7383
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 7376 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
2 domfi 7321 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
31, 2syldan 457 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   -onto->wfo 5443    ~<_ cdom 7098   Fincfn 7100
This theorem is referenced by:  f1fi  7384  imafi  7390  f1opwfi  7401  indexfi  7405  intrnfi  7412  infpwfien  7932  ttukeylem6  8383  fseqsupcl  11304  fiinfnf1o  11622  vdwlem6  13342  0ram2  13377  0ramcl  13379  mplsubrglem  16490  tgcmp  17452  hauscmplem  17457  1stcfb  17496  1stckgenlem  17573  ptcnplem  17641  txtube  17660  txcmplem1  17661  tmdgsum2  18114  tsmsf1o  18162  tsmsxplem1  18170  ovolicc2lem4  19404  i1fadd  19575  i1fmul  19576  itg1addlem4  19579  i1fmulc  19583  mbfi1fseqlem4  19598  limciun  19769  edgusgranbfin  21447  erdszelem2  24866  itg2addnclem2  26203  comppfsc  26324  istotbnd3  26417  sstotbnd  26421  prdsbnd  26439  cntotbnd  26442  heiborlem1  26457  heibor  26467  lmhmfgima  27097
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-1o 6715  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-fin 7104
  Copyright terms: Public domain W3C validator