MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Unicode version

Theorem fofi 7142
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 7135 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
2 domfi 7084 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
31, 2syldan 456 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   -onto->wfo 5253    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  f1fi  7143  imafi  7148  f1opwfi  7159  indexfi  7163  intrnfi  7170  infpwfien  7689  ttukeylem6  8141  fseqsupcl  11039  vdwlem6  13033  0ram2  13068  0ramcl  13070  mplsubrglem  16183  tgcmp  17128  hauscmplem  17133  1stcfb  17171  1stckgenlem  17248  ptcnplem  17315  txtube  17334  txcmplem1  17335  tmdgsum2  17779  tsmsf1o  17827  tsmsxplem1  17835  ovolicc2lem4  18879  i1fadd  19050  i1fmul  19051  itg1addlem4  19054  i1fmulc  19058  mbfi1fseqlem4  19073  limciun  19244  erdszelem2  23723  f1ofi  25070  comppfsc  26307  istotbnd3  26495  sstotbnd  26499  prdsbnd  26517  cntotbnd  26520  heiborlem1  26535  heibor  26545  lmhmfgima  27182
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator