MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Unicode version

Theorem fofi 7158
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 7151 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
2 domfi 7100 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
31, 2syldan 456 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   -onto->wfo 5269    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  f1fi  7159  imafi  7164  f1opwfi  7175  indexfi  7179  intrnfi  7186  infpwfien  7705  ttukeylem6  8157  fseqsupcl  11055  vdwlem6  13049  0ram2  13084  0ramcl  13086  mplsubrglem  16199  tgcmp  17144  hauscmplem  17149  1stcfb  17187  1stckgenlem  17264  ptcnplem  17331  txtube  17350  txcmplem1  17351  tmdgsum2  17795  tsmsf1o  17843  tsmsxplem1  17851  ovolicc2lem4  18895  i1fadd  19066  i1fmul  19067  itg1addlem4  19070  i1fmulc  19074  mbfi1fseqlem4  19089  limciun  19260  erdszelem2  23738  itg2addnclem2  25004  f1ofi  25173  comppfsc  26410  istotbnd3  26598  sstotbnd  26602  prdsbnd  26620  cntotbnd  26623  heiborlem1  26638  heibor  26648  lmhmfgima  27285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator