MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Unicode version

Theorem fofi 7137
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 7130 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
2 domfi 7079 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
31, 2syldan 458 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   -onto->wfo 5219    ~<_ cdom 6856   Fincfn 6858
This theorem is referenced by:  f1fi  7138  imafi  7143  f1opwfi  7154  indexfi  7158  intrnfi  7165  infpwfien  7684  ttukeylem6  8136  fseqsupcl  11033  vdwlem6  13027  0ram2  13062  0ramcl  13064  mplsubrglem  16177  tgcmp  17122  hauscmplem  17127  1stcfb  17165  1stckgenlem  17242  ptcnplem  17309  txtube  17328  txcmplem1  17329  tmdgsum2  17773  tsmsf1o  17821  tsmsxplem1  17829  ovolicc2lem4  18873  i1fadd  19044  i1fmul  19045  itg1addlem4  19048  i1fmulc  19052  mbfi1fseqlem4  19067  limciun  19238  erdszelem2  23127  f1ofi  24468  comppfsc  25706  istotbnd3  25894  sstotbnd  25898  prdsbnd  25916  cntotbnd  25919  heiborlem1  25934  heibor  25944  lmhmfgima  26581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-1o 6474  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-fin 6862
  Copyright terms: Public domain W3C validator