MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Unicode version

Theorem fofi 7096
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 7089 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
2 domfi 7038 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
31, 2syldan 458 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   class class class wbr 3983   -onto->wfo 4657    ~<_ cdom 6815   Fincfn 6817
This theorem is referenced by:  f1fi  7097  imafi  7102  f1opwfi  7113  indexfi  7117  intrnfi  7124  infpwfien  7643  ttukeylem6  8095  fseqsupcl  10991  vdwlem6  12981  0ram2  13016  0ramcl  13018  mplsubrglem  16131  tgcmp  17076  hauscmplem  17081  1stcfb  17119  1stckgenlem  17196  ptcnplem  17263  txtube  17282  txcmplem1  17283  tmdgsum2  17727  tsmsf1o  17775  tsmsxplem1  17783  ovolicc2lem4  18827  i1fadd  18998  i1fmul  18999  itg1addlem4  19002  i1fmulc  19006  mbfi1fseqlem4  19021  limciun  19192  erdszelem2  23081  f1ofi  24422  comppfsc  25660  istotbnd3  25848  sstotbnd  25852  prdsbnd  25870  cntotbnd  25873  heiborlem1  25888  heibor  25898  lmhmfgima  26535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-1o 6433  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6821
  Copyright terms: Public domain W3C validator