MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofinf1o Unicode version

Theorem fofinf1o 7153
Description: Any surjection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
fofinf1o  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem fofinf1o
Dummy variables  w  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -onto-> B
)
2 fof 5467 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A --> B )
4 domnsym 7003 . . . . . . 7  |-  ( B  ~<_  ( A  \  {
y } )  ->  -.  ( A  \  {
y } )  ~<  B )
5 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
6 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  ~~  B )
7 enfii 7096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
85, 6, 7syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
98ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A  e.  Fin )
10 difss 3316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { y } )  C_  A
1110a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  C_  A )
12 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
y  e.  A )
13 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  =  y
14 eldifsni 3763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( A  \  { y } )  ->  y  =/=  y
)
1514necon2bi 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  y  ->  -.  y  e.  ( A  \  { y } ) )
1613, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  y  e.  ( A  \  {
y } )
17 nelne1 2548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( A  \  { y } ) )  ->  A  =/=  ( A  \  {
y } ) )
1812, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A  =/=  ( A  \  { y } ) )
1918necomd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  =/= 
A )
20 df-pss 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  C.  A  <->  ( ( A  \  {
y } )  C_  A  /\  ( A  \  { y } )  =/=  A ) )
2111, 19, 20sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  C.  A )
22 php3 7063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  { y } )  C.  A
)  ->  ( A  \  { y } ) 
~<  A )
239, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  ~<  A )
246ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A  ~~  B )
25 sdomentr 7011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  ~<  A  /\  A  ~~  B
)  ->  ( A  \  { y } ) 
~<  B )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  ~<  B )
274, 26nsyl3 111 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  -.  B  ~<_  ( A  \  { y } ) )
288adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  A  e.  Fin )
29 ssfi 7099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  { y } )  C_  A
)  ->  ( A  \  { y } )  e.  Fin )
3028, 10, 29sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( A  \  { y } )  e.  Fin )
313adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  F : A
--> B )
32 fssres 5424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  \  { y } )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } ) --> B )
3331, 10, 32sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } ) --> B )
341adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  F : A -onto-> B )
35 foelrn 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  z  e.  B
)  ->  E. u  e.  A  z  =  ( F `  u ) )
3634, 35sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  E. u  e.  A  z  =  ( F `  u ) )
37 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  x  e.  A )
38 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  x  =/=  y )
39 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =/=  y
) )
4037, 38, 39sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  x  e.  ( A  \  { y } ) )
41 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
4241eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
43 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  x  ->  ( F `  w )  =  ( F `  x ) )
4443eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  x  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
4544rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  { y } )  /\  ( F `
 y )  =  ( F `  x
) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
4640, 42, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
47 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
4847eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  y  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) ) )
4948rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  y  ->  ( E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w )  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  y )  =  ( F `  w ) ) )
5046, 49syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( u  =  y  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
u  =  y  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
5251imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A
)  /\  u  =  y )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
53 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( u  e.  A  /\  u  =/=  y
) )
54 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F `
 u )  =  ( F `  u
)
55 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  u  ->  ( F `  w )  =  ( F `  u ) )
5655eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  u  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  u )  =  ( F `  u ) ) )
5756rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  { y } )  /\  ( F `
 u )  =  ( F `  u
) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
5854, 57mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( A  \  { y } )  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `
 u )  =  ( F `  w
) )
5953, 58sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  A  /\  u  =/=  y )  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
6059adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A
)  /\  u  =/=  y )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
6152, 60pm2.61dane 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
62 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( A  \  { y } )  ->  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
6362eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( A  \  { y } )  ->  ( z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w )  <->  z  =  ( F `  w ) ) )
6463rexbiia 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  ( A 
\  { y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w
)  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( F `  w
) )
65 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
z  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
6665rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  ( E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( F `  w )  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
6764, 66syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  ( E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w
)  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `
 u )  =  ( F `  w
) ) )
6861, 67syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
z  =  ( F `
 u )  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w
) ) )
6968rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( E. u  e.  A  z  =  ( F `  u )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) ) )
7069imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  E. u  e.  A  z  =  ( F `  u ) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) )
7136, 70syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) )
7271ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  A. z  e.  B  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) )
73 dffo3 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) : ( A 
\  { y } ) -onto-> B  <->  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } ) --> B  /\  A. z  e.  B  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) ) )
7433, 72, 73sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } )
-onto-> B )
75 fodomfi 7151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  e. 
Fin  /\  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } )
-onto-> B )  ->  B  ~<_  ( A  \  { y } ) )
7630, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  B  ~<_  ( A 
\  { y } ) )
7776anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x  =/=  y
) )  ->  B  ~<_  ( A  \  { y } ) )
7877expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  B  ~<_  ( A  \  { y } ) ) )
7978necon1bd 2527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( -.  B  ~<_  ( A  \  { y } )  ->  x  =  y ) )
8027, 79mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
8180ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
8281ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
83 dff13 5799 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
843, 82, 83sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -1-1-> B
)
85 df-f1o 5278 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B ) )
8684, 1, 85sylanbrc 645 1  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165    C. wpss 3166   {csn 3653   class class class wbr 4039    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   Fincfn 6879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator