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Theorem fofinf1o 7105
Description: Any surjection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
fofinf1o  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem fofinf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 960 . . . 4  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -onto-> B
)
2 fof 5389 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A --> B )
4 domnsym 6955 . . . . . . 7  |-  ( B  ~<_  ( A  \  {
y } )  ->  -.  ( A  \  {
y } )  ~<  B )
5 simp3 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
6 simp2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  ~~  B )
7 enfii 7048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
85, 6, 7syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
98ad2antrr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A  e.  Fin )
10 difss 3278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { y } )  C_  A
1110a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  C_  A )
12 simplrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
y  e.  A )
13 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  =  y
14 eldifsni 3724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( A  \  { y } )  ->  y  =/=  y
)
1514necon2bi 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  y  ->  -.  y  e.  ( A  \  { y } ) )
1613, 15ax-mp 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  y  e.  ( A  \  {
y } )
17 nelne1 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( A  \  { y } ) )  ->  A  =/=  ( A  \  {
y } ) )
1812, 16, 17sylancl 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A  =/=  ( A  \  { y } ) )
1918necomd 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  =/= 
A )
20 df-pss 3143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  C.  A  <->  ( ( A  \  {
y } )  C_  A  /\  ( A  \  { y } )  =/=  A ) )
2111, 19, 20sylanbrc 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  C.  A )
22 php3 7015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  { y } )  C.  A
)  ->  ( A  \  { y } ) 
~<  A )
239, 21, 22syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  ~<  A )
246ad2antrr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A  ~~  B )
25 sdomentr 6963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  ~<  A  /\  A  ~~  B
)  ->  ( A  \  { y } ) 
~<  B )
2623, 24, 25syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  ~<  B )
274, 26nsyl3 113 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  -.  B  ~<_  ( A  \  { y } ) )
288adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  A  e.  Fin )
29 ssfi 7051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  { y } )  C_  A
)  ->  ( A  \  { y } )  e.  Fin )
3028, 10, 29sylancl 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( A  \  { y } )  e.  Fin )
313adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  F : A
--> B )
32 fssres 5346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  \  { y } )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } ) --> B )
3331, 10, 32sylancl 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } ) --> B )
341adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  F : A -onto-> B )
35 foelrn 5613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  z  e.  B
)  ->  E. u  e.  A  z  =  ( F `  u ) )
3634, 35sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  E. u  e.  A  z  =  ( F `  u ) )
37 simprll 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  x  e.  A )
38 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  x  =/=  y )
39 eldifsn 3723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =/=  y
) )
4037, 38, 39sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  x  e.  ( A  \  { y } ) )
41 simprrl 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
4241eqcomd 2263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
43 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  x  ->  ( F `  w )  =  ( F `  x ) )
4443eqeq2d 2269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  x  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
4544rcla4ev 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  { y } )  /\  ( F `
 y )  =  ( F `  x
) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
4640, 42, 45syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
47 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
4847eqeq1d 2266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  y  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) ) )
4948rexbidv 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  y  ->  ( E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w )  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  y )  =  ( F `  w ) ) )
5046, 49syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( u  =  y  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
5150adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
u  =  y  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
5251imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A
)  /\  u  =  y )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
53 eldifsn 3723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( u  e.  A  /\  u  =/=  y
) )
54 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F `
 u )  =  ( F `  u
)
55 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  u  ->  ( F `  w )  =  ( F `  u ) )
5655eqeq2d 2269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  u  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  u )  =  ( F `  u ) ) )
5756rcla4ev 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  { y } )  /\  ( F `
 u )  =  ( F `  u
) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
5854, 57mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( A  \  { y } )  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `
 u )  =  ( F `  w
) )
5953, 58sylbir 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  A  /\  u  =/=  y )  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
6059adantll 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A
)  /\  u  =/=  y )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
6152, 60pm2.61dane 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
62 fvres 5475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( A  \  { y } )  ->  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
6362eqeq2d 2269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( A  \  { y } )  ->  ( z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w )  <->  z  =  ( F `  w ) ) )
6463rexbiia 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  ( A 
\  { y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w
)  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( F `  w
) )
65 eqeq1 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
z  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
6665rexbidv 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  ( E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( F `  w )  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
6764, 66syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  ( E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w
)  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `
 u )  =  ( F `  w
) ) )
6861, 67syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
z  =  ( F `
 u )  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w
) ) )
6968rexlimdva 2642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( E. u  e.  A  z  =  ( F `  u )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) ) )
7069imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  E. u  e.  A  z  =  ( F `  u ) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) )
7136, 70syldan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) )
7271ralrimiva 2601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  A. z  e.  B  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) )
73 dffo3 5609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) : ( A 
\  { y } ) -onto-> B  <->  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } ) --> B  /\  A. z  e.  B  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) ) )
7433, 72, 73sylanbrc 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } )
-onto-> B )
75 fodomfi 7103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  e. 
Fin  /\  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } )
-onto-> B )  ->  B  ~<_  ( A  \  { y } ) )
7630, 74, 75syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  B  ~<_  ( A 
\  { y } ) )
7776anassrs 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x  =/=  y
) )  ->  B  ~<_  ( A  \  { y } ) )
7877expr 601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  B  ~<_  ( A  \  { y } ) ) )
7978necon1bd 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( -.  B  ~<_  ( A  \  { y } )  ->  x  =  y ) )
8027, 79mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
8180ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
8281ralrimivva 2610 . . 3  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
83 dff13 5717 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
843, 82, 83sylanbrc 648 . 2  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -1-1-> B
)
85 df-f1o 4688 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B ) )
8684, 1, 85sylanbrc 648 1  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519    \ cdif 3124    C_ wss 3127    C. wpss 3128   {csn 3614   class class class wbr 3997    |` cres 4663   -->wf 4669   -1-1->wf1 4670   -onto->wfo 4671   -1-1-onto->wf1o 4672   ` cfv 4673    ~~ cen 6828    ~<_ cdom 6829    ~< csdm 6830   Fincfn 6831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-1o 6447  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835
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