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Theorem fofinf1o 7379
Description: Any surjection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
fofinf1o  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem fofinf1o
Dummy variables  w  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -onto-> B
)
2 fof 5645 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A --> B )
4 domnsym 7225 . . . . . . 7  |-  ( B  ~<_  ( A  \  {
y } )  ->  -.  ( A  \  {
y } )  ~<  B )
5 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
6 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  ~~  B )
7 enfii 7318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
85, 6, 7syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
98ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A  e.  Fin )
10 difssd 3467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  C_  A )
11 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
y  e.  A )
12 neldifsn 3921 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  y  e.  ( A  \  {
y } )
13 nelne1 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( A  \  { y } ) )  ->  A  =/=  ( A  \  {
y } ) )
1411, 12, 13sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A  =/=  ( A  \  { y } ) )
1514necomd 2681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  =/= 
A )
16 df-pss 3328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  C.  A  <->  ( ( A  \  {
y } )  C_  A  /\  ( A  \  { y } )  =/=  A ) )
1710, 15, 16sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  C.  A )
18 php3 7285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  { y } )  C.  A
)  ->  ( A  \  { y } ) 
~<  A )
199, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  ~<  A )
206ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A  ~~  B )
21 sdomentr 7233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  ~<  A  /\  A  ~~  B
)  ->  ( A  \  { y } ) 
~<  B )
2219, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  \  {
y } )  ~<  B )
234, 22nsyl3 113 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  -.  B  ~<_  ( A  \  { y } ) )
248adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  A  e.  Fin )
25 difss 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { y } )  C_  A
26 ssfi 7321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  { y } )  C_  A
)  ->  ( A  \  { y } )  e.  Fin )
2724, 25, 26sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( A  \  { y } )  e.  Fin )
283adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  F : A
--> B )
29 fssres 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  \  { y } )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } ) --> B )
3028, 25, 29sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } ) --> B )
311adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  F : A -onto-> B )
32 foelrn 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  z  e.  B
)  ->  E. u  e.  A  z  =  ( F `  u ) )
3331, 32sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  E. u  e.  A  z  =  ( F `  u ) )
34 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  x  e.  A )
35 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  x  =/=  y )
36 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( x  e.  A  /\  x  =/=  y
) )
3734, 35, 36sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  x  e.  ( A  \  { y } ) )
38 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
3938eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
40 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  x  ->  ( F `  w )  =  ( F `  x ) )
4140eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  x  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
4241rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  { y } )  /\  ( F `
 y )  =  ( F `  x
) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
4337, 39, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
44 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
4544eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  y  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) ) )
4645rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  y  ->  ( E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w )  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  y )  =  ( F `  w ) ) )
4743, 46syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( u  =  y  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
u  =  y  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
4948imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A
)  /\  u  =  y )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
50 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( u  e.  A  /\  u  =/=  y
) )
51 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F `
 u )  =  ( F `  u
)
52 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  u  ->  ( F `  w )  =  ( F `  u ) )
5352eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  u  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  u )  =  ( F `  u ) ) )
5453rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  { y } )  /\  ( F `
 u )  =  ( F `  u
) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
5551, 54mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( A  \  { y } )  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `
 u )  =  ( F `  w
) )
5650, 55sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  A  /\  u  =/=  y )  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
5756adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A
)  /\  u  =/=  y )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
5849, 57pm2.61dane 2676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) )
59 fvres 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( A  \  { y } )  ->  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
6059eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( A  \  { y } )  ->  ( z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w )  <->  z  =  ( F `  w ) ) )
6160rexbiia 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  ( A 
\  { y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w
)  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( F `  w
) )
62 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
z  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
6362rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  ( E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( F `  w )  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `  u )  =  ( F `  w ) ) )
6461, 63syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  ( E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w
)  <->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) ( F `
 u )  =  ( F `  w
) ) )
6558, 64syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
z  =  ( F `
 u )  ->  E. w  e.  ( A  \  { y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) `  w
) ) )
6665rexlimdva 2822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( E. u  e.  A  z  =  ( F `  u )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) ) )
6766imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  E. u  e.  A  z  =  ( F `  u ) )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) )
6833, 67syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) )
6968ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  A. z  e.  B  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) )
70 dffo3 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( A  \  { y } ) ) : ( A 
\  { y } ) -onto-> B  <->  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } ) --> B  /\  A. z  e.  B  E. w  e.  ( A  \  {
y } ) z  =  ( ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) `
 w ) ) )
7130, 69, 70sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } )
-onto-> B )
72 fodomfi 7377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  e. 
Fin  /\  ( F  |`  ( A  \  {
y } ) ) : ( A  \  { y } )
-onto-> B )  ->  B  ~<_  ( A  \  { y } ) )
7327, 71, 72syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =/=  y ) ) )  ->  B  ~<_  ( A 
\  { y } ) )
7473anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x  =/=  y
) )  ->  B  ~<_  ( A  \  { y } ) )
7574expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  B  ~<_  ( A  \  { y } ) ) )
7675necon1bd 2666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( -.  B  ~<_  ( A  \  { y } )  ->  x  =  y ) )
7723, 76mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
7877ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
7978ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
80 dff13 5996 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
813, 79, 80sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -1-1-> B
)
82 df-f1o 5453 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B ) )
8381, 1, 82sylanbrc 646 1  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    C_ wss 3312    C. wpss 3313   {csn 3806   class class class wbr 4204    |` cres 4872   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100   Fincfn 7101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105
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