Theorem fooprval 4028

Description: An onto mapping of an operation expressed in terms of operation values.

Assertion

Ref	Expression
fooprval	|- (F:(A X. B)-onto->C <-> (F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.x e. A E.y e. B z = (xFy)))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   z,C   x,F,y,z

Proof of Theorem fooprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo3 3810	. 2 |- (F:(A X. B)-onto->C <-> (F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.w e. (A X. B)z = (F` w)))
2		fveq2 3715	. . . . . . 7 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (F` <.x, y>.))
3		df-opr 3956	. . . . . . 7 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
4	2, 3	syl6eqr 1522	. . . . . 6 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (xFy))
5	4	eqeq2d 1483	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> (z = (F` w) <-> z = (xFy)))
6	5	rexxp 3214	. . . 4 |- (E.w e. (A X. B)z = (F` w) <-> E.x e. A E.y e. B z = (xFy))
7	6	ralbii 1664	. . 3 |- (A.z e. C E.w e. (A X. B)z = (F` w) <-> A.z e. C E.x e. A E.y e. B z = (xFy))
8	7	anbi2i 480	. 2 |- ((F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.w e. (A X. B)z = (F` w)) <-> (F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.x e. A E.y e. B z = (xFy)))
9	1, 8	bitr 173	1 |- (F:(A X. B)-onto->C <-> (F:(A X. B)-->C /\ A.z e. C E.x e. A E.y e. B z = (xFy)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954  A.wral 1642  E.wrex 1643  <.cop 2407   X. cxp 3163  -->wf 3173  -onto->wfo 3175  ` cfv 3177  (class class class)co 3954

This theorem is referenced by:  isgrp 7991  isgrpi 7992  isgrp2i 8026

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fo 3191  df-fv 3193  df-opr 3956

Copyright terms: Public domain