Theorem fopab 3833

Description: Functionality of an ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fopab2.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = C)}
fopab.2	|- (x e. A -> C e. B)

Assertion

Ref	Expression
fopab	|- F:A-->B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   y,C

Proof of Theorem fopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fopab.2	. . 3 |- (x e. A -> C e. B)
2	1	rgen 1701	. 2 |- A.x e. A C e. B
3		fopab2.1	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = C)}
4	3	fopab2 3829	. 2 |- (A.x e. A C e. B <-> F:A-->B)
5	2, 4	mpbi 189	1 |- F:A-->B

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  {copab 2671  -->wf 3184

This theorem is referenced by:  pw2en 4452  icoshftf1oi 6410  absf 6906  geoser 7234  geolimilem 7235  geolim1i 7238  cvgratlem3ALT 7249  cvgratlem3 7252  cjcncf 7278  efcltlem1 7304  dfef2 7307  erelem1 7319  erelem2 7320  efcj 7336  eftlexOLD 7377  eirrlem5 7393  efsep 7396  effsumle 7397  reeff1 7410  efm1lim 7411  xplm 7972  sqcn 8331  sm1cnilem 8343  sincolem 8660  efghgrpilem 8714  normf 8984  hosubcl 9690  cnlnadjlem6 10000

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain