Theorem fopab3 3823

Description: Functionality of an ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fopab2.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = C)}
rnssopab.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
fopab3	|- (ran F (_ B <-> F:A-->B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   y,C

Proof of Theorem fopab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fopab2.1	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = C)}
2		rnssopab.2	. . 3 |- C e. V
3	1, 2	rnssopab 3822	. 2 |- (A.x e. A C e. B <-> ran F (_ B)
4	1	fopab2 3820	. 2 |- (A.x e. A C e. B <-> F:A-->B)
5	3, 4	bitr3 175	1 |- (ran F (_ B <-> F:A-->B)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  Vcvv 1809   (_ wss 2045  {copab 2663  ran crn 3168  -->wf 3175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195

Copyright terms: Public domain