Theorem fopabsn 3840

Description: The singleton of an ordered pair expressed as an ordered pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fopabsn.1	|- A e. V
fopabsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fopabsn	|- {<.A, B>.} = {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem fopabsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fopabsn.1	. . . . . 6 |- A e. V
2		fopabsn.2	. . . . . 6 |- B e. V
3	1, 2	f1osn 3719	. . . . 5 |- {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}
4		f1of 3689	. . . . 5 |- ({<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B} -> {<.A, B>.}:{A}-->{B})
5	3, 4	ax-mp 7	. . . 4 |- {<.A, B>.}:{A}-->{B}
6		ffn 3627	. . . 4 |- ({<.A, B>.}:{A}-->{B} -> {<.A, B>.} Fn {A})
7	5, 6	ax-mp 7	. . 3 |- {<.A, B>.} Fn {A}
8		eqid 1475	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)} = {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}
9	2, 8	fnopab2 3618	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)} Fn {A}
10		ax-17 971	. . . 4 |- (z e. {<.A, B>.} -> A.x z e. {<.A, B>.})
11		hbopab1 2813	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)} -> A.x z e. {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)})
12	10, 11	eqfnfvf 3798	. . 3 |- (({<.A, B>.} Fn {A} /\ {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)} Fn {A}) -> ({<.A, B>.} = {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)} <-> ({A} = {A} /\ A.x e. {A} ({<.A, B>.}` x) = ({<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}` x))))
13	7, 9, 12	mp2an 697	. 2 |- ({<.A, B>.} = {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)} <-> ({A} = {A} /\ A.x e. {A} ({<.A, B>.}` x) = ({<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}` x)))
14		eqid 1475	. 2 |- {A} = {A}
15		elsn 2421	. . . 4 |- (x e. {A} <-> x = A)
16	1, 2	fvsn 3794	. . . . 5 |- ({<.A, B>.}` A) = B
17		fveq2 3724	. . . . 5 |- (x = A -> ({<.A, B>.}` x) = ({<.A, B>.}` A))
18		fvopab2 3791	. . . . . . 7 |- ((x e. {A} /\ B e. V) -> ({<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}` x) = B)
19	2, 18	mpan2 696	. . . . . 6 |- (x e. {A} -> ({<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}` x) = B)
20	15, 19	sylbir 201	. . . . 5 |- (x = A -> ({<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}` x) = B)
21	16, 17, 20	3eqtr4a 1532	. . . 4 |- (x = A -> ({<.A, B>.}` x) = ({<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}` x))
22	15, 21	sylbi 199	. . 3 |- (x e. {A} -> ({<.A, B>.}` x) = ({<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}` x))
23	22	rgen 1698	. 2 |- A.x e. {A} ({<.A, B>.}` x) = ({<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}` x)
24	13, 14, 23	mpbir2an 730	1 |- {<.A, B>.} = {<.x, y>. | (x e. {A} /\ y = B)}

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  {csn 2409  <.cop 2411  {copab 2666   Fn wfn 3177  -->wf 3178  -1-1-onto->wf1o 3181  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fopabap 3841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain