Theorem foprcl 4010

Description: Closure law for an operation.

Hypothesis

Ref	Expression
foprcl.1	|- F:(R X. S)-->C

Assertion

Ref	Expression
foprcl	|- ((A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Proof of Theorem foprcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foprcl.1	. . 3 |- F:(R X. S)-->C
2		ffnoprval 4009	. . . 4 |- (F:(R X. S)-->C <-> (F Fn (R X. S) /\ A.x e. R A.y e. S (xFy) e. C))
3	2	pm3.27bi 326	. . 3 |- (F:(R X. S)-->C -> A.x e. R A.y e. S (xFy) e. C)
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 |- A.x e. R A.y e. S (xFy) e. C
5		opreq1 3963	. . . 4 |- (x = A -> (xFy) = (AFy))
6	5	eleq1d 1538	. . 3 |- (x = A -> ((xFy) e. C <-> (AFy) e. C))
7		opreq2 3964	. . . 4 |- (y = B -> (AFy) = (AFB))
8	7	eleq1d 1538	. . 3 |- (y = B -> ((AFy) e. C <-> (AFB) e. C))
9	6, 8	rcla42v 1877	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (A.x e. R A.y e. S (xFy) e. C -> (AFB) e. C))
10	4, 9	mpi 44	1 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643   X. cxp 3164   Fn wfn 3173  -->wf 3174  (class class class)co 3958

This theorem is referenced by:  axaddcl 5254  axmulcl 5256  issubgi 8086  ablmul 8095  hvaddclt 8837  hvmulclt 8838  hiclt 8902  iooirrsa 10438

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-opr 3960

Copyright terms: Public domain