Theorem foprrn 4020

Description: A operations's value belongs to its codomain.

Assertion

Ref	Expression
foprrn	|- ((F:(R X. S)-->C /\ A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Proof of Theorem foprrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3799	. . . 4 |- ((F:(R X. S)-->C /\ <.A, B>. e. (R X. S)) -> (F` <.A, B>.) e. C)
2		df-opr 3950	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
3	1, 2	syl5eqel 1544	. . 3 |- ((F:(R X. S)-->C /\ <.A, B>. e. (R X. S)) -> (AFB) e. C)
4		opelxpi 3207	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S) -> <.A, B>. e. (R X. S))
5	3, 4	sylan2 451	. 2 |- ((F:(R X. S)-->C /\ (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) e. C)
6	5	3impb 827	1 |- ((F:(R X. S)-->C /\ A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   e. wcel 955  <.cop 2401   X. cxp 3158  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948

This theorem is referenced by:  curry1f 4083  acdc2lem1 7430  acdc5lem1 7433  mscl 7744  metcl 7750  grpcl 7978  grpdivcl 8021  ringcl 8081  vccl 8106  nvmcl 8207

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950

Copyright terms: Public domain