Theorem fornex 3679

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain.

Assertion

Ref	Expression
fornex	|- (A e. C -> (F:A-onto->B -> B e. V))

Proof of Theorem fornex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 3673	. . . 4 |- (F:A-onto->B -> Fun F)
2		funrnex 3613	. . . . 5 |- (dom F e. C -> (Fun F -> ran F e. V))
3	2	com12 11	. . . 4 |- (Fun F -> (dom F e. C -> ran F e. V))
4	1, 3	syl 10	. . 3 |- (F:A-onto->B -> (dom F e. C -> ran F e. V))
5		fof 3672	. . . . 5 |- (F:A-onto->B -> F:A-->B)
6		fdm 3631	. . . . 5 |- (F:A-->B -> dom F = A)
7	5, 6	syl 10	. . . 4 |- (F:A-onto->B -> dom F = A)
8	7	eleq1d 1540	. . 3 |- (F:A-onto->B -> (dom F e. C <-> A e. C))
9		forn 3674	. . . 4 |- (F:A-onto->B -> ran F = B)
10	9	eleq1d 1540	. . 3 |- (F:A-onto->B -> (ran F e. V <-> B e. V))
11	4, 8, 10	3imtr3d 542	. 2 |- (F:A-onto->B -> (A e. C -> B e. V))
12	11	com12 11	1 |- (A e. C -> (F:A-onto->B -> B e. V))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  dom cdm 3170  ran crn 3171  Fun wfun 3176  -->wf 3178  -onto->wfo 3180

This theorem is referenced by:  f1dmex 3710  f1imaen 4422  fodomfiOLD 4566  fodomfibOLD 4567  fodomb 4800  ghgrpilem4 8136

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196

Copyright terms: Public domain