MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpr Unicode version

Theorem fpr 5873
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fpr.1  |-  A  e. 
_V
fpr.2  |-  B  e. 
_V
fpr.3  |-  C  e. 
_V
fpr.4  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fpr  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)

Proof of Theorem fpr
StepHypRef Expression
1 fpr.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2 fpr.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3 fpr.3 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
4 fpr.4 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
51, 2, 3, 4funpr 5461 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  Fun  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } )
63, 4dmprop 5304 . . . . 5  |-  dom  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { A ,  B }
75, 6jctir 525 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( Fun  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  /\  dom  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { A ,  B } ) )
8 df-fn 5416 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  <->  ( Fun  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  /\  dom  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { A ,  B }
) )
97, 8sylibr 204 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }
)
10 df-pr 3781 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
1110rneqi 5055 . . . . 5  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ran  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
12 rnun 5239 . . . . 5  |-  ran  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
131rnsnop 5309 . . . . . . 7  |-  ran  { <. A ,  C >. }  =  { C }
142rnsnop 5309 . . . . . . 7  |-  ran  { <. B ,  D >. }  =  { D }
1513, 14uneq12i 3459 . . . . . 6  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  ( { C }  u.  { D } )
16 df-pr 3781 . . . . . 6  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
1715, 16eqtr4i 2427 . . . . 5  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  { C ,  D }
1811, 12, 173eqtri 2428 . . . 4  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { C ,  D }
1918eqimssi 3362 . . 3  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D }
209, 19jctir 525 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } ) )
21 df-f 5417 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }  <->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  C_  { C ,  D } ) )
2220, 21sylibr 204 1  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775   <.cop 3777   dom cdm 4837   ran crn 4838   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409
This theorem is referenced by:  fprg  5874  1sdom  7270  wlkntrllem1  21512  wlkntrllem3  21514  coinfliprv  24693  fprb  25343  axlowdimlem4  25788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417
  Copyright terms: Public domain W3C validator