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Theorem fpwwe2 8145
Description: Given any function  F from well-orderings of subsets of  A to  A, there is a unique well-ordered subset  <. X ,  ( W `  X )
>. which "agrees" with  F in the sense that each initial segment maps to its upper bound, and such that the entire set maps to an element of the set (so that it cannot be extended without losing the well-ordering). This theorem can be used to prove dfac8a 7541. Theorem 1.1 of [KanamoriPincus] p. 415. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
fpwwe2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fpwwe2.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
fpwwe2.4  |-  X  = 
U. dom  W
Assertion
Ref Expression
fpwwe2  |-  ( ph  ->  ( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  <->  ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, r, x, F    X, r, u, x, y    ph, r, u, x, y    A, r, x    R, r, u, x, y    Y, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2
StepHypRef Expression
1 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
2 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
4 fpwwe2.4 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. dom  W
51, 2, 3, 4fpwwe2lem11 8142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W : dom  W --> ~P ( X  X.  X
) )
6 ffun 5248 . . . . . . . . . 10  |-  ( W : dom  W --> ~P ( X  X.  X )  ->  Fun  W )
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  W )
8 funbrfv2b 5419 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
W  ->  ( Y W R  <->  ( Y  e. 
dom  W  /\  ( W `  Y )  =  R ) ) )
97, 8syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y W R  <-> 
( Y  e.  dom  W  /\  ( W `  Y )  =  R ) ) )
109simprbda 609 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y W R )  ->  Y  e.  dom  W )
1110adantrr 700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y  e.  dom  W )
12 elssuni 3753 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  dom  W  ->  Y  C_  U. dom  W
)
1312, 4syl6sseqr 3146 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  dom  W  ->  Y  C_  X )
1411, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y  C_  X )
15 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  Y  /\  ( W `  X )  =  ( R  i^i  ( Y  X.  X
) ) )  ->  X  C_  Y )
1615a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( X  C_  Y  /\  ( W `  X )  =  ( R  i^i  ( Y  X.  X ) ) )  ->  X  C_  Y
) )
17 simplrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( Y F R )  e.  Y
)
181, 2, 3, 4fpwwe2lem12 8143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  W
)
19 funfvbrb 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
W  ->  ( X  e.  dom  W  <->  X W
( W `  X
) ) )
207, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  dom  W  <-> 
X W ( W `
 X ) ) )
2118, 20mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X W ( W `
 X ) )
221, 2fpwwe2lem2 8134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X W ( W `  X )  <-> 
( ( X  C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( ( W `
 X )  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
2321, 22mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( X  C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( ( W `
 X )  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
2423ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X 
C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X
) )  /\  (
( W `  X
)  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X ) " {
y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X )  i^i  (
u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
2524simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) ) )
2625simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  X  C_  A
)
272adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  A  e.  _V )
2827adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  A  e.  _V )
29 ssexg 4057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  C_  A  /\  A  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
3026, 28, 29syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  X  e.  _V )
31 difexg 4058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  \  Y )  e. 
_V )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  \  Y )  e.  _V )
3324simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( W `
 X )  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) )
3433simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( W `  X )  We  X
)
35 wefr 4276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W `  X )  We  X  ->  ( W `  X )  Fr  X )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( W `  X )  Fr  X
)
37 difss 3220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X 
\  Y )  C_  X
3837a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  \  Y )  C_  X
)
39 fri 4248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  \  Y )  e.  _V  /\  ( W `  X
)  Fr  X )  /\  ( ( X 
\  Y )  C_  X  /\  ( X  \  Y )  =/=  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  Y ) A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z )
4039expr 601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  \  Y )  e.  _V  /\  ( W `  X
)  Fr  X )  /\  ( X  \  Y )  C_  X
)  ->  ( ( X  \  Y )  =/=  (/)  ->  E. z  e.  ( X  \  Y ) A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z ) )
4132, 36, 38, 40syl21anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  Y )  =/=  (/)  ->  E. z  e.  ( X  \  Y ) A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z ) )
42 ssdif0 3420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X
) " { z } ) )  C_  Y 
<->  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) 
\  Y )  =  (/) )
43 indif1 3320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  Y )  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) 
\  Y )
4443eqeq1i 2260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  Y
)  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  (/)  <->  (
( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) 
\  Y )  =  (/) )
45 disj 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  Y
)  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  (/)  <->  A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w  e.  ( `' ( W `
 X ) " { z } ) )
46 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
47 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  w  e. 
_V
4847eliniseg 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  _V  ->  (
w  e.  ( `' ( W `  X
) " { z } )  <->  w ( W `  X )
z ) )
4946, 48ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( `' ( W `  X )
" { z } )  <->  w ( W `
 X ) z )
5049notbii 289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  w  e.  ( `' ( W `  X
) " { z } )  <->  -.  w
( W `  X
) z )
5150ralbii 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w  e.  ( `' ( W `
 X ) " { z } )  <->  A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `  X ) z )
5245, 51bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  Y
)  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  (/)  <->  A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w
( W `  X
) z )
5342, 44, 523bitr2i 266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X
) " { z } ) )  C_  Y 
<-> 
A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z )
54 cnvimass 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( W `  X
) " { z } )  C_  dom  (  W `  X )
5525simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) )
56 dmss 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W `  X ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  dom  (  W `  X ) 
C_  dom  (  X  X.  X ) )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  dom  (  W `  X )  C_  dom  (  X  X.  X
) )
58 dmxpid 4805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  (  X  X.  X )  =  X
5957, 58syl6sseq 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  dom  (  W `  X )  C_  X
)
6054, 59syl5ss 3111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  X )
61 dfss1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  X 
<->  ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) )  =  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
6260, 61sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) )  =  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
6362sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  C_  Y  <->  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )
6453, 63syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( X  \  Y
)  -.  w ( W `  X ) z  <->  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)
6564rexbidv 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( X  \  Y
) A. w  e.  ( X  \  Y
)  -.  w ( W `  X ) z  <->  E. z  e.  ( X  \  Y ) ( `' ( W `
 X ) " { z } ) 
C_  Y ) )
66 eldifn 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ( X  \  Y )  ->  -.  z  e.  Y )
6766ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  -.  z  e.  Y
)
68 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  Y  <->  z  e.  Y ) )
6968notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  w  e.  Y  <->  -.  z  e.  Y ) )
7067, 69syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( w  =  z  ->  -.  w  e.  Y ) )
7170con2d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( w  e.  Y  ->  -.  w  =  z ) )
7271imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  -.  w  =  z )
7367adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  -.  z  e.  Y )
74 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) )
7574ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) )
7675breqd 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  <->  z (
( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) w ) )
77 eldifi 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  e.  ( X  \  Y )  ->  z  e.  X )
7877ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
z  e.  X )
7978adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  z  e.  X )
80 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
81 brxp 4627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z ( X  X.  Y
) w  <->  ( z  e.  X  /\  w  e.  Y ) )
8279, 80, 81sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  z
( X  X.  Y
) w )
83 brin 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y ) ) w  <->  ( z ( W `  X ) w  /\  z ( X  X.  Y ) w ) )
8483rbaib 878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z ( X  X.  Y
) w  ->  (
z ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) w  <->  z ( W `  X )
w ) )
8582, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) w  <->  z ( W `  X )
w ) )
8676, 85bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  <->  z ( W `  X )
w ) )
871, 2fpwwe2lem2 8134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( Y W R  <-> 
( ( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( R  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
8887biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  Y W R )  ->  (
( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( R  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
8988adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( R  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
9089simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) ) )
9190simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  R  C_  ( Y  X.  Y ) )
9291ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  R  C_  ( Y  X.  Y
) )
9392ssbrd 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  -> 
z ( Y  X.  Y ) w ) )
94 brxp 4627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z ( Y  X.  Y
) w  <->  ( z  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )
9594simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z ( Y  X.  Y
) w  ->  z  e.  Y )
9693, 95syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  -> 
z  e.  Y ) )
9786, 96sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z ( W `  X ) w  -> 
z  e.  Y ) )
9873, 97mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  -.  z ( W `  X ) w )
9934ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  ( W `  X )  We  X )
100 weso 4277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W `  X )  We  X  ->  ( W `  X )  Or  X )
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  ( W `  X )  Or  X )
10214ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  Y  C_  X )
103102sselda 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  X )
104 sotric 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W `  X
)  Or  X  /\  ( w  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
w ( W `  X ) z  <->  -.  (
w  =  z  \/  z ( W `  X ) w ) ) )
105 ioran 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( w  =  z  \/  z ( W `
 X ) w )  <->  ( -.  w  =  z  /\  -.  z
( W `  X
) w ) )
106104, 105syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W `  X
)  Or  X  /\  ( w  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
w ( W `  X ) z  <->  ( -.  w  =  z  /\  -.  z ( W `  X ) w ) ) )
107101, 103, 79, 106syl12anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
w ( W `  X ) z  <->  ( -.  w  =  z  /\  -.  z ( W `  X ) w ) ) )
10872, 98, 107mpbir2and 893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w
( W `  X
) z )
109108, 49sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  ( `' ( W `
 X ) " { z } ) )
110109ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( w  e.  Y  ->  w  e.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) )
111110ssrdv 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  Y  C_  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
112 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( `' ( W `
 X ) " { z } ) 
C_  Y )
113111, 112eqssd 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  Y  =  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
114 in32 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) )  i^i  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  i^i  ( X  X.  Y ) )
115 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) )
116115ineq1d 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( R  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y ) )  i^i  ( Y  X.  Y
) ) )
11791ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  C_  ( Y  X.  Y ) )
118 df-ss 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R 
C_  ( Y  X.  Y )  <->  ( R  i^i  ( Y  X.  Y
) )  =  R )
119117, 118sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( R  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  R )
120116, 119eqtr3d 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  R )
121 inss2 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( Y  X.  Y
)
122 xpss1 4702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y 
C_  X  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  Y
) )
123102, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
124121, 123syl5ss 3111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  ( X  X.  Y ) )
125 df-ss 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W `  X
)  i^i  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( X  X.  Y
)  <->  ( ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  i^i  ( X  X.  Y
) )  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( Y  X.  Y ) ) )
126124, 125sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( ( W `
 X )  i^i  ( Y  X.  Y
) )  i^i  ( X  X.  Y ) )  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( Y  X.  Y
) ) )
127114, 120, 1263eqtr3a 2309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y
) ) )
128113, 113xpeq12d 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y  X.  Y
)  =  ( ( `' ( W `  X ) " {
z } )  X.  ( `' ( W `
 X ) " { z } ) ) )
129128ineq2d 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( ( `' ( W `  X )
" { z } )  X.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) ) )
130127, 129eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( ( `' ( W `  X )
" { z } )  X.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) ) )
131113, 130oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y F R )  =  ( ( `' ( W `  X ) " {
z } ) F ( ( W `  X )  i^i  (
( `' ( W `
 X ) " { z } )  X.  ( `' ( W `  X )
" { z } ) ) ) ) )
13228adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  A  e.  _V )
13321adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  X W ( W `  X ) )
134133ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  X W ( W `  X ) )
1351, 132, 134fpwwe2lem3 8135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( `' ( W `
 X ) " { z } ) F ( ( W `
 X )  i^i  ( ( `' ( W `  X )
" { z } )  X.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) ) )  =  z )
13678, 135mpdan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( `' ( W `  X )
" { z } ) F ( ( W `  X )  i^i  ( ( `' ( W `  X
) " { z } )  X.  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) ) )  =  z )
137131, 136eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y F R )  =  z )
138 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
z  e.  ( X 
\  Y ) )
139137, 138eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y F R )  e.  ( X 
\  Y ) )
140 eldifn 3216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y F R )  e.  ( X  \  Y )  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y )
142141expr 601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X  \  Y
) )  ->  (
( `' ( W `
 X ) " { z } ) 
C_  Y  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y ) )
143142rexlimdva 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( X  \  Y
) ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y ) )
14465, 143sylbid 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( X  \  Y
) A. w  e.  ( X  \  Y
)  -.  w ( W `  X ) z  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y ) )
14541, 144syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  Y )  =/=  (/)  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y
) )
146145necon4ad 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( Y F R )  e.  Y  ->  ( X  \  Y )  =  (/) ) )
14717, 146mpd 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  \  Y )  =  (/) )
148 ssdif0 3420 . . . . . . . 8  |-  ( X 
C_  Y  <->  ( X  \  Y )  =  (/) )
149147, 148sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  X  C_  Y
)
150149ex 425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) )  ->  X  C_  Y
) )
1513adantlr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
152 simprl 735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y W R )
1531, 27, 151, 133, 152fpwwe2lem10 8141 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( X  C_  Y  /\  ( W `  X )  =  ( R  i^i  ( Y  X.  X ) ) )  \/  ( Y 
C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) ) )
15416, 150, 153mpjaod 372 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  X  C_  Y )
15514, 154eqssd 3117 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y  =  X )
1567adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Fun  W )
157155, 152eqbrtrrd 3942 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  X W R )
158 funbrfv 5413 . . . . . 6  |-  ( Fun 
W  ->  ( X W R  ->  ( W `
 X )  =  R ) )
159156, 157, 158sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( W `  X
)  =  R )
160159eqcomd 2258 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  R  =  ( W `  X ) )
161155, 160jca 520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) ) )
162161ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  ->  ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) ) ) )
1631, 2, 3, 4fpwwe2lem13 8144 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( W `  X ) )  e.  X )
16421, 163jca 520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X W ( W `  X )  /\  ( X F ( W `  X
) )  e.  X
) )
165 breq12 3925 . . . 4  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( Y W R  <-> 
X W ( W `
 X ) ) )
166 oveq12 5719 . . . . 5  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( Y F R )  =  ( X F ( W `  X ) ) )
167 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  ->  Y  =  X )
168166, 167eleq12d 2321 . . . 4  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( ( Y F R )  e.  Y  <->  ( X F ( W `
 X ) )  e.  X ) )
169165, 168anbi12d 694 . . 3  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  <->  ( X W ( W `  X )  /\  ( X F ( W `  X ) )  e.  X ) ) )
170164, 169syl5ibrcom 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X
) )  ->  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) ) )
171162, 170impbid 185 1  |-  ( ph  ->  ( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  <->  ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727   [.wsbc 2921    \ cdif 3075    i^i cin 3077    C_ wss 3078   (/)c0 3362   ~Pcpw 3530   {csn 3544   U.cuni 3727   class class class wbr 3920   {copab 3973    Or wor 4206    Fr wfr 4242    We wwe 4244    X. cxp 4578   `'ccnv 4579   dom cdm 4580   "cima 4583   Fun wfun 4586   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710
This theorem is referenced by:  fpwwe  8148  canthwelem  8152  pwfseqlem4  8164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-oi 7109
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