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Theorem fpwwe2 8281
Description: Given any function  F from well-orderings of subsets of  A to  A, there is a unique well-ordered subset  <. X ,  ( W `  X )
>. which "agrees" with  F in the sense that each initial segment maps to its upper bound, and such that the entire set maps to an element of the set (so that it cannot be extended without losing the well-ordering). This theorem can be used to prove dfac8a 7673. Theorem 1.1 of [KanamoriPincus] p. 415. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
fpwwe2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fpwwe2.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
fpwwe2.4  |-  X  = 
U. dom  W
Assertion
Ref Expression
fpwwe2  |-  ( ph  ->  ( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  <->  ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, r, x, F    X, r, u, x, y    ph, r, u, x, y    A, r, x    R, r, u, x, y    Y, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
2 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
4 fpwwe2.4 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. dom  W
51, 2, 3, 4fpwwe2lem11 8278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W : dom  W --> ~P ( X  X.  X
) )
6 ffun 5407 . . . . . . . . . 10  |-  ( W : dom  W --> ~P ( X  X.  X )  ->  Fun  W )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  W )
8 funbrfv2b 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
W  ->  ( Y W R  <->  ( Y  e. 
dom  W  /\  ( W `  Y )  =  R ) ) )
97, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y W R  <-> 
( Y  e.  dom  W  /\  ( W `  Y )  =  R ) ) )
109simprbda 606 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y W R )  ->  Y  e.  dom  W )
1110adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y  e.  dom  W )
12 elssuni 3871 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  dom  W  ->  Y  C_  U. dom  W
)
1312, 4syl6sseqr 3238 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  dom  W  ->  Y  C_  X )
1411, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y  C_  X )
15 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  Y  /\  ( W `  X )  =  ( R  i^i  ( Y  X.  X
) ) )  ->  X  C_  Y )
1615a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( X  C_  Y  /\  ( W `  X )  =  ( R  i^i  ( Y  X.  X ) ) )  ->  X  C_  Y
) )
17 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( Y F R )  e.  Y
)
181, 2, 3, 4fpwwe2lem12 8279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  W
)
19 funfvbrb 5654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
W  ->  ( X  e.  dom  W  <->  X W
( W `  X
) ) )
207, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  dom  W  <-> 
X W ( W `
 X ) ) )
2118, 20mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X W ( W `
 X ) )
221, 2fpwwe2lem2 8270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X W ( W `  X )  <-> 
( ( X  C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( ( W `
 X )  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
2321, 22mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( X  C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( ( W `
 X )  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
2423ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X 
C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X
) )  /\  (
( W `  X
)  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X ) " {
y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X )  i^i  (
u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
2524simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) ) )
2625simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  X  C_  A
)
272adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  A  e.  _V )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  A  e.  _V )
29 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  C_  A  /\  A  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
3026, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  X  e.  _V )
31 difexg 4178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  \  Y )  e. 
_V )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  \  Y )  e.  _V )
3324simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( W `
 X )  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) )
3433simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( W `  X )  We  X
)
35 wefr 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W `  X )  We  X  ->  ( W `  X )  Fr  X )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( W `  X )  Fr  X
)
37 difss 3316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X 
\  Y )  C_  X
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  \  Y )  C_  X
)
39 fri 4371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  \  Y )  e.  _V  /\  ( W `  X
)  Fr  X )  /\  ( ( X 
\  Y )  C_  X  /\  ( X  \  Y )  =/=  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  Y ) A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z )
4039expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  \  Y )  e.  _V  /\  ( W `  X
)  Fr  X )  /\  ( X  \  Y )  C_  X
)  ->  ( ( X  \  Y )  =/=  (/)  ->  E. z  e.  ( X  \  Y ) A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z ) )
4132, 36, 38, 40syl21anc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  Y )  =/=  (/)  ->  E. z  e.  ( X  \  Y ) A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z ) )
42 ssdif0 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X
) " { z } ) )  C_  Y 
<->  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) 
\  Y )  =  (/) )
43 indif1 3426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  Y )  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) 
\  Y )
4443eqeq1i 2303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  Y
)  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  (/)  <->  (
( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) 
\  Y )  =  (/) )
45 disj 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  Y
)  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  (/)  <->  A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w  e.  ( `' ( W `
 X ) " { z } ) )
46 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
47 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  w  e. 
_V
4847eliniseg 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  _V  ->  (
w  e.  ( `' ( W `  X
) " { z } )  <->  w ( W `  X )
z ) )
4946, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( `' ( W `  X )
" { z } )  <->  w ( W `
 X ) z )
5049notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  w  e.  ( `' ( W `  X
) " { z } )  <->  -.  w
( W `  X
) z )
5150ralbii 2580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w  e.  ( `' ( W `
 X ) " { z } )  <->  A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `  X ) z )
5245, 51bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  Y
)  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  (/)  <->  A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w
( W `  X
) z )
5342, 44, 523bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X
) " { z } ) )  C_  Y 
<-> 
A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z )
54 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( W `  X
) " { z } )  C_  dom  ( W `  X )
5525simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) )
56 dmss 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W `  X ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  dom  ( W `  X ) 
C_  dom  ( X  X.  X ) )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  dom  ( W `  X )  C_  dom  ( X  X.  X
) )
58 dmxpid 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
5957, 58syl6sseq 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  dom  ( W `  X )  C_  X
)
6054, 59syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  X )
61 dfss1 3386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  X 
<->  ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) )  =  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
6260, 61sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) )  =  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
6362sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  C_  Y  <->  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )
6453, 63syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( X  \  Y
)  -.  w ( W `  X ) z  <->  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)
6564rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( X  \  Y
) A. w  e.  ( X  \  Y
)  -.  w ( W `  X ) z  <->  E. z  e.  ( X  \  Y ) ( `' ( W `
 X ) " { z } ) 
C_  Y ) )
66 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ( X  \  Y )  ->  -.  z  e.  Y )
6766ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  -.  z  e.  Y
)
68 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  Y  <->  z  e.  Y ) )
6968notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  w  e.  Y  <->  -.  z  e.  Y ) )
7067, 69syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( w  =  z  ->  -.  w  e.  Y ) )
7170con2d 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( w  e.  Y  ->  -.  w  =  z ) )
7271imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  -.  w  =  z )
7367adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  -.  z  e.  Y )
74 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) )
7574ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) )
7675breqd 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  <->  z (
( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) w ) )
77 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  e.  ( X  \  Y )  ->  z  e.  X )
7877ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
z  e.  X )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  z  e.  X )
80 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
81 brxp 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z ( X  X.  Y
) w  <->  ( z  e.  X  /\  w  e.  Y ) )
8279, 80, 81sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  z
( X  X.  Y
) w )
83 brin 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y ) ) w  <->  ( z ( W `  X ) w  /\  z ( X  X.  Y ) w ) )
8483rbaib 873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z ( X  X.  Y
) w  ->  (
z ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) w  <->  z ( W `  X )
w ) )
8582, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) w  <->  z ( W `  X )
w ) )
8676, 85bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  <->  z ( W `  X )
w ) )
871, 2fpwwe2lem2 8270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( Y W R  <-> 
( ( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( R  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
8887biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  Y W R )  ->  (
( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( R  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
8988adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( R  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
9089simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) ) )
9190simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  R  C_  ( Y  X.  Y ) )
9291ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  R  C_  ( Y  X.  Y
) )
9392ssbrd 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  -> 
z ( Y  X.  Y ) w ) )
94 brxp 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z ( Y  X.  Y
) w  <->  ( z  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )
9594simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z ( Y  X.  Y
) w  ->  z  e.  Y )
9693, 95syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  -> 
z  e.  Y ) )
9786, 96sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z ( W `  X ) w  -> 
z  e.  Y ) )
9873, 97mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  -.  z ( W `  X ) w )
9934ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  ( W `  X )  We  X )
100 weso 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W `  X )  We  X  ->  ( W `  X )  Or  X )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  ( W `  X )  Or  X )
10214ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  Y  C_  X )
103102sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  X )
104 sotric 4356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W `  X
)  Or  X  /\  ( w  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
w ( W `  X ) z  <->  -.  (
w  =  z  \/  z ( W `  X ) w ) ) )
105 ioran 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( w  =  z  \/  z ( W `
 X ) w )  <->  ( -.  w  =  z  /\  -.  z
( W `  X
) w ) )
106104, 105syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W `  X
)  Or  X  /\  ( w  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
w ( W `  X ) z  <->  ( -.  w  =  z  /\  -.  z ( W `  X ) w ) ) )
107101, 103, 79, 106syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
w ( W `  X ) z  <->  ( -.  w  =  z  /\  -.  z ( W `  X ) w ) ) )
10872, 98, 107mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w
( W `  X
) z )
109108, 49sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  ( `' ( W `
 X ) " { z } ) )
110109ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( w  e.  Y  ->  w  e.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) )
111110ssrdv 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  Y  C_  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
112 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( `' ( W `
 X ) " { z } ) 
C_  Y )
113111, 112eqssd 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  Y  =  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
114 in32 3394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) )  i^i  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  i^i  ( X  X.  Y ) )
115 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) )
116115ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( R  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y ) )  i^i  ( Y  X.  Y
) ) )
11791ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  C_  ( Y  X.  Y ) )
118 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R 
C_  ( Y  X.  Y )  <->  ( R  i^i  ( Y  X.  Y
) )  =  R )
119117, 118sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( R  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  R )
120116, 119eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  R )
121 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( Y  X.  Y
)
122 xpss1 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y 
C_  X  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  Y
) )
123102, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
124121, 123syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  ( X  X.  Y ) )
125 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W `  X
)  i^i  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( X  X.  Y
)  <->  ( ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  i^i  ( X  X.  Y
) )  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( Y  X.  Y ) ) )
126124, 125sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( ( W `
 X )  i^i  ( Y  X.  Y
) )  i^i  ( X  X.  Y ) )  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( Y  X.  Y
) ) )
127114, 120, 1263eqtr3a 2352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y
) ) )
128113, 113xpeq12d 4730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y  X.  Y
)  =  ( ( `' ( W `  X ) " {
z } )  X.  ( `' ( W `
 X ) " { z } ) ) )
129128ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( ( `' ( W `  X )
" { z } )  X.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) ) )
130127, 129eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( ( `' ( W `  X )
" { z } )  X.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) ) )
131113, 130oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y F R )  =  ( ( `' ( W `  X ) " {
z } ) F ( ( W `  X )  i^i  (
( `' ( W `
 X ) " { z } )  X.  ( `' ( W `  X )
" { z } ) ) ) ) )
13228adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  A  e.  _V )
13321adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  X W ( W `  X ) )
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  X W ( W `  X ) )
1351, 132, 134fpwwe2lem3 8271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( `' ( W `
 X ) " { z } ) F ( ( W `
 X )  i^i  ( ( `' ( W `  X )
" { z } )  X.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) ) )  =  z )
13678, 135mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( `' ( W `  X )
" { z } ) F ( ( W `  X )  i^i  ( ( `' ( W `  X
) " { z } )  X.  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) ) )  =  z )
137131, 136eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y F R )  =  z )
138 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
z  e.  ( X 
\  Y ) )
139137, 138eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y F R )  e.  ( X 
\  Y ) )
140 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y F R )  e.  ( X  \  Y )  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y )
141139, 140syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y )
142141expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X  \  Y
) )  ->  (
( `' ( W `
 X ) " { z } ) 
C_  Y  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y ) )
143142rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( X  \  Y
) ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y ) )
14465, 143sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( X  \  Y
) A. w  e.  ( X  \  Y
)  -.  w ( W `  X ) z  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y ) )
14541, 144syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  Y )  =/=  (/)  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y
) )
146145necon4ad 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( Y F R )  e.  Y  ->  ( X  \  Y )  =  (/) ) )
14717, 146mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  \  Y )  =  (/) )
148 ssdif0 3526 . . . . . . . 8  |-  ( X 
C_  Y  <->  ( X  \  Y )  =  (/) )
149147, 148sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  X  C_  Y
)
150149ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) )  ->  X  C_  Y
) )
1513adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
152 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y W R )
1531, 27, 151, 133, 152fpwwe2lem10 8277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( X  C_  Y  /\  ( W `  X )  =  ( R  i^i  ( Y  X.  X ) ) )  \/  ( Y 
C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) ) )
15416, 150, 153mpjaod 370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  X  C_  Y )
15514, 154eqssd 3209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y  =  X )
1567adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Fun  W )
157155, 152eqbrtrrd 4061 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  X W R )
158 funbrfv 5577 . . . . . 6  |-  ( Fun 
W  ->  ( X W R  ->  ( W `
 X )  =  R ) )
159156, 157, 158sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( W `  X
)  =  R )
160159eqcomd 2301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  R  =  ( W `  X ) )
161155, 160jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) ) )
162161ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  ->  ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) ) ) )
1631, 2, 3, 4fpwwe2lem13 8280 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( W `  X ) )  e.  X )
16421, 163jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X W ( W `  X )  /\  ( X F ( W `  X
) )  e.  X
) )
165 breq12 4044 . . . 4  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( Y W R  <-> 
X W ( W `
 X ) ) )
166 oveq12 5883 . . . . 5  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( Y F R )  =  ( X F ( W `  X ) ) )
167 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  ->  Y  =  X )
168166, 167eleq12d 2364 . . . 4  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( ( Y F R )  e.  Y  <->  ( X F ( W `
 X ) )  e.  X ) )
169165, 168anbi12d 691 . . 3  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  <->  ( X W ( W `  X )  /\  ( X F ( W `  X ) )  e.  X ) ) )
170164, 169syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X
) )  ->  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) ) )
171162, 170impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  <->  ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   {copab 4092    Or wor 4329    Fr wfr 4365    We wwe 4367    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874
This theorem is referenced by:  fpwwe  8284  canthwelem  8288  pwfseqlem4  8300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-riota 6320  df-recs 6404  df-oi 7241
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