MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr0g Structured version   Unicode version

Theorem fr0g 6693
Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
fr0g  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )

Proof of Theorem fr0g
StepHypRef Expression
1 peano1 4864 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 fvres 5745 . . 3  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A
) `  (/) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A ) `  (/) )
4 rdg0g 6685 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rec ( F ,  A
) `  (/) )  =  A )
53, 4syl5eq 2480 1  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3628   omcom 4845    |` cres 4880   ` cfv 5454   reccrdg 6667
This theorem is referenced by:  unblem2  7360  dffi3  7436  inf0  7576  inf3lemb  7580  trcl  7664  alephfplem1  7985  infpssrlem1  8183  fin23lem34  8226  ituni0  8298  hsmexlem7  8303  axdclem2  8400  wunex2  8613  wuncval2  8622  peano5nni  10003  1nn  10011  om2uz0i  11287  om2uzrdg  11296  uzrdg0i  11299  trpredlem1  25505  trpredpred  25506  trpredmintr  25509  trpred0  25514  trpredrec  25516  neibastop2lem  26389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668
  Copyright terms: Public domain W3C validator