Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr3nr Structured version   Unicode version

Theorem fr3nr 4762
 Description: A well-founded relation has no 3-cycle loops. Special case of Proposition 6.23 of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fr3nr

Proof of Theorem fr3nr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpex 4710 . . . . . . 7
21a1i 11 . . . . . 6
3 simpl 445 . . . . . 6
4 df-tp 3824 . . . . . . 7
5 simpr1 964 . . . . . . . . 9
6 simpr2 965 . . . . . . . . 9
7 prssi 3956 . . . . . . . . 9
85, 6, 7syl2anc 644 . . . . . . . 8
9 simpr3 966 . . . . . . . . 9
109snssd 3945 . . . . . . . 8
118, 10unssd 3525 . . . . . . 7
124, 11syl5eqss 3394 . . . . . 6
13 snsstp1 3951 . . . . . . . 8
14 snssg 3934 . . . . . . . . 9
155, 14syl 16 . . . . . . . 8
1613, 15mpbiri 226 . . . . . . 7
17 ne0i 3636 . . . . . . 7
1816, 17syl 16 . . . . . 6
19 fri 4546 . . . . . 6
202, 3, 12, 18, 19syl22anc 1186 . . . . 5
21 breq2 4218 . . . . . . . . 9
2221notbid 287 . . . . . . . 8
2322ralbidv 2727 . . . . . . 7
24 breq2 4218 . . . . . . . . 9
2524notbid 287 . . . . . . . 8
2625ralbidv 2727 . . . . . . 7
27 breq2 4218 . . . . . . . . 9
2827notbid 287 . . . . . . . 8
2928ralbidv 2727 . . . . . . 7
3023, 26, 29rextpg 3862 . . . . . 6
3130adantl 454 . . . . 5
3220, 31mpbid 203 . . . 4
33 snsstp3 3953 . . . . . . 7
34 snssg 3934 . . . . . . . 8
359, 34syl 16 . . . . . . 7
3633, 35mpbiri 226 . . . . . 6
37 breq1 4217 . . . . . . . 8
3837notbid 287 . . . . . . 7
3938rspcv 3050 . . . . . 6
4036, 39syl 16 . . . . 5
41 breq1 4217 . . . . . . . 8
4241notbid 287 . . . . . . 7
4342rspcv 3050 . . . . . 6
4416, 43syl 16 . . . . 5
45 snsstp2 3952 . . . . . . 7
46 snssg 3934 . . . . . . . 8
476, 46syl 16 . . . . . . 7
4845, 47mpbiri 226 . . . . . 6
49 breq1 4217 . . . . . . . 8
5049notbid 287 . . . . . . 7
5150rspcv 3050 . . . . . 6
5248, 51syl 16 . . . . 5
5340, 44, 523orim123d 1263 . . . 4
5432, 53mpd 15 . . 3
55 3ianor 952 . . 3
5654, 55sylibr 205 . 2
57 3anrot 942 . 2
5856, 57sylnib 297 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3o 936   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cun 3320   wss 3322  c0 3630  csn 3816  cpr 3817  ctp 3818   class class class wbr 4214   wfr 4540 This theorem is referenced by:  epne3  4763  dfwe2  4764 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-fr 4543
 Copyright terms: Public domain W3C validator