MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Unicode version

Theorem frfnom 6655
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6637 . . 3  |-  Fun  rec ( F ,  A )
2 funres 5455 . . 3  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  ->  Fun  ( rec ( F ,  A )  |`  om )
)
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )
4 dmres 5130 . . 3  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A
) )
5 rdgdmlim 6638 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
6 limomss 4813 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
75, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
8 df-ss 3298 . . . 4  |-  ( om  C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om )
97, 8mpbi 200 . . 3  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om
104, 9eqtri 2428 . 2  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  om
11 df-fn 5420 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om )  Fn  om  <->  ( Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  /\  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  om )  =  om ) )
123, 10, 11mpbir2an 887 1  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    i^i cin 3283    C_ wss 3284   Lim wlim 4546   omcom 4808   dom cdm 4841    |` cres 4843   Fun wfun 5411    Fn wfn 5412   reccrdg 6630
This theorem is referenced by:  frsucmptn  6659  seqomlem2  6671  seqomlem3  6672  seqomlem4  6673  unblem4  7325  dffi3  7398  inf0  7536  inf3lem6  7548  alephfplem4  7948  alephfp  7949  infpssrlem3  8145  itunifn  8257  hsmexlem5  8270  axdclem2  8360  wunex2  8573  wuncval2  8582  peano5nni  9963  1nn  9971  peano2nn  9972  om2uzrani  11251  om2uzf1oi  11252  uzrdglem  11256  uzrdgfni  11257  uzrdg0i  11258  hashkf  11579  hashgval2  11611  dftrpred2  25440  trpredpred  25449  trpredex  25458  neibastop2lem  26283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-recs 6596  df-rdg 6631
  Copyright terms: Public domain W3C validator