MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Unicode version

Theorem frfnom 6380
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6362 . . 3  |-  Fun  rec ( F ,  A )
2 funres 5196 . . 3  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  ->  Fun  ( rec ( F ,  A )  |`  om )
)
31, 2ax-mp 10 . 2  |-  Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )
4 dmres 4929 . . 3  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A
) )
5 rdgdmlim 6363 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
6 limomss 4598 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
75, 6ax-mp 10 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
8 df-ss 3108 . . . 4  |-  ( om  C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om )
97, 8mpbi 201 . . 3  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om
104, 9eqtri 2276 . 2  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  om
11 df-fn 4649 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om )  Fn  om  <->  ( Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  /\  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  om )  =  om ) )
123, 10, 11mpbir2an 891 1  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    i^i cin 3093    C_ wss 3094   Lim wlim 4330   omcom 4593   dom cdm 4626    |` cres 4628   Fun wfun 4632    Fn wfn 4633   reccrdg 6355
This theorem is referenced by:  frsucmptn  6384  seqomlem2  6396  seqomlem3  6397  seqomlem4  6398  unblem4  7045  dffi3  7117  inf0  7255  inf3lem6  7267  alephfplem4  7667  alephfp  7668  infpssrlem3  7864  itunifn  7976  hsmexlem5  7989  axdclem2  8080  wunex2  8293  wuncval2  8302  peano5nni  9682  1nn  9690  peano2nn  9691  om2uzrani  10946  om2uzf1oi  10947  uzrdglem  10951  uzrdgfni  10952  uzrdg0i  10953  hashkf  11270  hashgval2  11291  dftrpred2  23556  trpredpred  23565  trpredex  23574  neibastop2lem  25641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-recs 6321  df-rdg 6356
  Copyright terms: Public domain W3C validator