MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Unicode version

Theorem frfnom 6449
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6431 . . 3  |-  Fun  rec ( F ,  A )
2 funres 5295 . . 3  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  ->  Fun  ( rec ( F ,  A )  |`  om )
)
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )
4 dmres 4978 . . 3  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A
) )
5 rdgdmlim 6432 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
6 limomss 4663 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
75, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
8 df-ss 3168 . . . 4  |-  ( om  C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om )
97, 8mpbi 199 . . 3  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om
104, 9eqtri 2305 . 2  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  om
11 df-fn 5260 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om )  Fn  om  <->  ( Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  /\  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  om )  =  om ) )
123, 10, 11mpbir2an 886 1  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1625    i^i cin 3153    C_ wss 3154   Lim wlim 4395   omcom 4658   dom cdm 4691    |` cres 4693   Fun wfun 5251    Fn wfn 5252   reccrdg 6424
This theorem is referenced by:  frsucmptn  6453  seqomlem2  6465  seqomlem3  6466  seqomlem4  6467  unblem4  7114  dffi3  7186  inf0  7324  inf3lem6  7336  alephfplem4  7736  alephfp  7737  infpssrlem3  7933  itunifn  8045  hsmexlem5  8058  axdclem2  8149  wunex2  8362  wuncval2  8371  peano5nni  9751  1nn  9759  peano2nn  9760  om2uzrani  11017  om2uzf1oi  11018  uzrdglem  11022  uzrdgfni  11023  uzrdg0i  11024  hashkf  11341  hashgval2  11362  dftrpred2  24224  trpredpred  24233  trpredex  24242  neibastop2lem  26320
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-recs 6390  df-rdg 6425
  Copyright terms: Public domain W3C validator