MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Unicode version

Theorem frfnom 6589
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6571 . . 3  |-  Fun  rec ( F ,  A )
2 funres 5396 . . 3  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  ->  Fun  ( rec ( F ,  A )  |`  om )
)
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )
4 dmres 5079 . . 3  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A
) )
5 rdgdmlim 6572 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
6 limomss 4764 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
75, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
8 df-ss 3252 . . . 4  |-  ( om  C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om )
97, 8mpbi 199 . . 3  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om
104, 9eqtri 2386 . 2  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  om
11 df-fn 5361 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om )  Fn  om  <->  ( Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  /\  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  om )  =  om ) )
123, 10, 11mpbir2an 886 1  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1647    i^i cin 3237    C_ wss 3238   Lim wlim 4496   omcom 4759   dom cdm 4792    |` cres 4794   Fun wfun 5352    Fn wfn 5353   reccrdg 6564
This theorem is referenced by:  frsucmptn  6593  seqomlem2  6605  seqomlem3  6606  seqomlem4  6607  unblem4  7259  dffi3  7331  inf0  7469  inf3lem6  7481  alephfplem4  7881  alephfp  7882  infpssrlem3  8078  itunifn  8190  hsmexlem5  8203  axdclem2  8294  wunex2  8507  wuncval2  8516  peano5nni  9896  1nn  9904  peano2nn  9905  om2uzrani  11179  om2uzf1oi  11180  uzrdglem  11184  uzrdgfni  11185  uzrdg0i  11186  hashkf  11507  hashgval2  11539  dftrpred2  25048  trpredpred  25057  trpredex  25066  neibastop2lem  25901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-recs 6530  df-rdg 6565
  Copyright terms: Public domain W3C validator