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Theorem frg2woteq 28449
 Description: There is a (simple) path of length 2 from one vertex to another vertex in a friendship graph if and only if there is a (simple) path of length 2 from the other vertex back to the first vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
frg2woteq FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt

Proof of Theorem frg2woteq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlkonot3v 28342 . . . 4 2WalksOnOt
21adantr 452 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3 el2wlkonot 28336 . . . . . 6 2WalksOnOt Walks
4 pm3.22 437 . . . . . . . 8
54anim2i 553 . . . . . . 7
6 el2wlkonot 28336 . . . . . . 7 2WalksOnOt Walks
75, 6syl 16 . . . . . 6 2WalksOnOt Walks
83, 7anbi12d 692 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt Walks Walks
983adant3 977 . . . 4 2WalksOnOt 2WalksOnOt Walks Walks
1053adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13
1110adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
13 el2wlkonotot 28340 . . . . . . . . . . . 12 2WalksOnOt Walks
1413bicomd 193 . . . . . . . . . . 11 Walks 2WalksOnOt
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . 10 Walks 2WalksOnOt
16 3simpa 954 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
19 el2wlkonotot 28340 . . . . . . . . . . . . . . 15 2WalksOnOt Walks
2019bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . 14 Walks 2WalksOnOt
2118, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Walks 2WalksOnOt
22 frg2woteqm 28448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
23 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2423fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2625adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
28 ot1stg 6361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2927, 28mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
32 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3332ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3433adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
35 ot3rdg 6363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3635adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3837adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3934, 38eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4026, 31, 393eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
42 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4342fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4443ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4544adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
46 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
47 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
49 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5046, 48, 493jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5150ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
53 ot1stg 6361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
55 ot3rdg 6363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5655adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5756ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5857adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5958eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
60 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6160adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6261eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6362fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6459, 63eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6545, 54, 643eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6640, 41, 653jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6766ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6822, 67syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6968exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7069com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7170ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7271ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
73723ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . 15 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7473ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7574imp31 422 . . . . . . . . . . . . 13 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
7621, 75sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12 Walks 2WalksOnOt FriendGrph
7776expimpd 587 . . . . . . . . . . 11 Walks 2WalksOnOt FriendGrph
7877com23 74 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt Walks FriendGrph
7915, 78sylbid 207 . . . . . . . . 9 Walks Walks FriendGrph
8079expimpd 587 . . . . . . . 8 Walks Walks FriendGrph
8180rexlimdva 2830 . . . . . . 7 Walks Walks FriendGrph
8281com23 74 . . . . . 6 Walks Walks FriendGrph
8382rexlimdva 2830 . . . . 5 Walks Walks FriendGrph
8483imp3a 421 . . . 4 Walks Walks FriendGrph
859, 84sylbid 207 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
862, 85mpcom 34 . 2 2WalksOnOt 2WalksOnOt FriendGrph
8786com12 29 1 FriendGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706  cvv 2956  cotp 3818   class class class wbr 4212   cxp 4876  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  cc0 8990  c1 8991  c2 10049  chash 11618   Walks cwalk 21506   2WalksOnOt c2wlkonot 28322   FriendGrph cfrgra 28378 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-usgra 21367  df-wlk 21516  df-wlkon 21522  df-2wlkonot 28325  df-frgra 28379
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