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Theorem frgpcyg 16842
 Description: A free group is cyclic iff it has zero or one generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frgpcyg.g freeGrp
Assertion
Ref Expression
frgpcyg CycGrp

Proof of Theorem frgpcyg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 7128 . . 3
2 sdom1 7299 . . . . 5
3 frgpcyg.g . . . . . . 7 freeGrp
4 fveq2 5719 . . . . . . 7 freeGrp freeGrp
53, 4syl5eq 2479 . . . . . 6 freeGrp
6 0ex 4331 . . . . . . . 8
7 eqid 2435 . . . . . . . . 9 freeGrp freeGrp
87frgpgrp 15382 . . . . . . . 8 freeGrp
96, 8ax-mp 8 . . . . . . 7 freeGrp
10 eqid 2435 . . . . . . . 8 freeGrp freeGrp
117, 100frgp 15399 . . . . . . 7 freeGrp
12100cyg 15490 . . . . . . 7 freeGrp freeGrp freeGrp CycGrp
139, 11, 12mp2an 654 . . . . . 6 freeGrp CycGrp
145, 13syl6eqel 2523 . . . . 5 CycGrp
152, 14sylbi 188 . . . 4 CycGrp
16 eqid 2435 . . . . 5
17 eqid 2435 . . . . 5 .g .g
18 relen 7105 . . . . . . 7
1918brrelexi 4909 . . . . . 6
203frgpgrp 15382 . . . . . 6
2119, 20syl 16 . . . . 5
22 eqid 2435 . . . . . . . 8 ~FG ~FG
23 eqid 2435 . . . . . . . 8 varFGrp varFGrp
2422, 23, 3, 16vrgpf 15388 . . . . . . 7 varFGrp
2519, 24syl 16 . . . . . 6 varFGrp
26 en1b 7166 . . . . . . . 8
27 eqimss2 3393 . . . . . . . 8
2826, 27sylbi 188 . . . . . . 7
29 uniexg 4697 . . . . . . . . 9
3019, 29syl 16 . . . . . . . 8
31 snssg 3924 . . . . . . . 8
3230, 31syl 16 . . . . . . 7
3328, 32mpbird 224 . . . . . 6
3425, 33ffvelrnd 5862 . . . . 5 varFGrp
35 zsubrg 16740 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld
36 subrgsubg 15862 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld SubGrpfld
3735, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 SubGrpfld
38 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 flds flds
3938subggrp 14935 . . . . . . . . . 10 SubGrpfld flds
4037, 39mp1i 12 . . . . . . . . 9 flds
41 1z 10300 . . . . . . . . . . . . 13
42 f1osng 5707 . . . . . . . . . . . . 13
4330, 41, 42sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
44 f1of 5665 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11
4626biimpi 187 . . . . . . . . . . . 12
4746feq2d 5572 . . . . . . . . . . 11
4845, 47mpbird 224 . . . . . . . . . 10
49 snssi 3934 . . . . . . . . . . 11
5041, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
51 fss 5590 . . . . . . . . . 10
5248, 50, 51sylancl 644 . . . . . . . . 9
5338subrgbas 15865 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld flds
5435, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 flds
553, 54, 23frgpup3 15398 . . . . . . . . 9 flds flds varFGrp
5640, 19, 52, 55syl3anc 1184 . . . . . . . 8 flds varFGrp
5756adantr 452 . . . . . . 7 flds varFGrp
58 reurex 2914 . . . . . . 7 flds varFGrp flds varFGrp
5957, 58syl 16 . . . . . 6 flds varFGrp
60 fveq1 5718 . . . . . . . . . 10 varFGrp varFGrp
61 fvco3 5791 . . . . . . . . . . . 12 varFGrp varFGrp varFGrp
6225, 33, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 varFGrp varFGrp
63 fvsng 5918 . . . . . . . . . . . 12
6430, 41, 63sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
6562, 64eqeq12d 2449 . . . . . . . . . 10 varFGrp varFGrp
6660, 65syl5ib 211 . . . . . . . . 9 varFGrp varFGrp
6766ad2antrr 707 . . . . . . . 8 flds varFGrp varFGrp
6816, 54ghmf 14998 . . . . . . . . . . . . 13 flds
6968ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12 flds varFGrp
7069ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . . 11 flds varFGrp
7170an32s 780 . . . . . . . . . 10 flds varFGrp
72 mptresid 5186 . . . . . . . . . . . . . 14
733, 16, 23frgpup3 15398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 varFGrp varFGrp varFGrp
7421, 19, 25, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 varFGrp varFGrp
75 reurmo 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 varFGrp varFGrp varFGrp varFGrp
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 varFGrp varFGrp
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds varFGrp varFGrp varFGrp
7821adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds varFGrp
7916idghm 15009 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds varFGrp
8125adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds varFGrp varFGrp
82 fcoi2 5609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 varFGrp varFGrp varFGrp
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds varFGrp varFGrp varFGrp
8469feqmptd 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds varFGrp
85 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds varFGrp .gvarFGrp .gvarFGrp
86 oveq1 6079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 .gvarFGrp .gvarFGrp
8770, 84, 85, 86fmptco 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds varFGrp .gvarFGrp .gvarFGrp
8834adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 flds varFGrp varFGrp
89 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 .gvarFGrp .gvarFGrp
9038, 17, 89, 16mulgghm2 16774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 varFGrp .gvarFGrp flds
9178, 88, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds varFGrp .gvarFGrp flds
92 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds varFGrp flds
93 ghmco 15013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 .gvarFGrp flds flds .gvarFGrp
9491, 92, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds varFGrp .gvarFGrp
9587, 94eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds varFGrp .gvarFGrp
9646adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 flds varFGrp
9796eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 flds varFGrp
98 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 flds varFGrp varFGrp
9998oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 flds varFGrp varFGrp.gvarFGrp .gvarFGrp
10016, 17mulg1 14885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 varFGrp .gvarFGrp varFGrp
10188, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 flds varFGrp .gvarFGrp varFGrp
10299, 101eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 flds varFGrp varFGrp.gvarFGrp varFGrp
103 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
104103fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 varFGrp varFGrp
105104fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 varFGrp varFGrp
106105oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 varFGrp.gvarFGrp varFGrp.gvarFGrp
107106, 104eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 varFGrp.gvarFGrp varFGrp varFGrp.gvarFGrp varFGrp
108102, 107syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 flds varFGrp varFGrp.gvarFGrp varFGrp
10997, 108sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 flds varFGrp varFGrp.gvarFGrp varFGrp
110109imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds varFGrp varFGrp.gvarFGrp varFGrp
111110mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds varFGrp varFGrp.gvarFGrp varFGrp
11281ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds varFGrp varFGrp
11381feqmptd 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds varFGrp varFGrp varFGrp
114 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds varFGrp .gvarFGrp .gvarFGrp
115 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 varFGrp varFGrp
116115oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 varFGrp .gvarFGrp varFGrp.gvarFGrp
117112, 113, 114, 116fmptco 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds varFGrp .gvarFGrp varFGrp varFGrp.gvarFGrp
118111, 117, 1133eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds varFGrp .gvarFGrp varFGrp varFGrp
119 coeq1 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 varFGrp varFGrp
120119eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 varFGrp varFGrp varFGrp varFGrp
121 coeq1 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 .gvarFGrp varFGrp .gvarFGrp varFGrp
122121eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 .gvarFGrp varFGrp varFGrp .gvarFGrp varFGrp varFGrp
123120, 122rmoi 3242 . . . . . . . . . . . . . . 15 varFGrp varFGrp varFGrp varFGrp .gvarFGrp .gvarFGrp varFGrp varFGrp .gvarFGrp
12477, 80, 83, 95, 118, 123syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 flds varFGrp .gvarFGrp
12572, 124syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13 flds varFGrp .gvarFGrp
126 mpteqb 5810 . . . . . . . . . . . . . 14 .gvarFGrp .gvarFGrp
127 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14
128126, 127mprg 2767 . . . . . . . . . . . . 13 .gvarFGrp .gvarFGrp
129125, 128sylib 189 . . . . . . . . . . . 12 flds varFGrp .gvarFGrp
130129r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . 11 flds varFGrp .gvarFGrp
131130an32s 780 . . . . . . . . . 10 flds varFGrp .gvarFGrp
13286eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11 .gvarFGrp .gvarFGrp
133132rspcev 3044 . . . . . . . . . 10 .gvarFGrp .gvarFGrp
13471, 131, 133syl2anc 643 . . . . . . . . 9 flds varFGrp .gvarFGrp
135134expr 599 . . . . . . . 8 flds varFGrp .gvarFGrp
13667, 135syld 42 . . . . . . 7 flds varFGrp .gvarFGrp
137136rexlimdva 2822 . . . . . 6 flds varFGrp .gvarFGrp
13859, 137mpd 15 . . . . 5 .gvarFGrp
13916, 17, 21, 34, 138iscygd 15485 . . . 4 CycGrp
14015, 139jaoi 369 . . 3 CycGrp
1411, 140sylbi 188 . 2 CycGrp
142 cygabl 15488 . . 3 CycGrp
1433frgpnabl 15474 . . . . 5
144143con2i 114 . . . 4
145 ablgrp 15405 . . . . . 6
146 eqid 2435 . . . . . . 7
14716, 146grpidcl 14821 . . . . . 6
1483, 16elbasfv 13500 . . . . . 6
149145, 147, 1483syl 19 . . . . 5
150 1onn 6873 . . . . . 6
151 nnfi 7290 . . . . . 6
152150, 151ax-mp 8 . . . . 5
153 fidomtri2 7870 . . . . 5
154149, 152, 153sylancl 644 . . . 4
155144, 154mpbird 224 . . 3
156142, 155syl 16 . 2 CycGrp
157141, 156impbii 181 1 CycGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  wreu 2699  wrmo 2700  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cop 3809  cuni 4007   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cid 4485  com 4836   cres 4871   ccom 4873  wf 5441  wf1o 5444  cfv 5445  (class class class)co 6072  c1o 6708   cen 7097   cdom 7098   csdm 7099  cfn 7100  c1 8980  cz 10271  cbs 13457   ↾s cress 13458  c0g 13711  cgrp 14673  .gcmg 14677  SubGrpcsubg 14926   cghm 14991   ~FG cefg 15326  freeGrpcfrgp 15327  varFGrpcvrgp 15328  cabel 15401  CycGrpccyg 15475  SubRingcsubrg 15852  ℂfldccnfld 16691 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-addf 9058  ax-mulf 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-ec 6898  df-qs 6902  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-hash 11607  df-word 11711  df-concat 11712  df-s1 11713  df-substr 11714  df-splice 11715  df-reverse 11716  df-s2 11800  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-imas 13722  df-divs 13723  df-mnd 14678  df-mhm 14726  df-submnd 14727  df-frmd 14782  df-vrmd 14783  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-mulg 14803  df-subg 14929  df-ghm 14992  df-efg 15329  df-frgp 15330  df-vrgp 15331  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-cyg 15476  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-cring 15652  df-ur 15653  df-subrg 15854  df-cnfld 16692
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