MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frirr Unicode version

Theorem frirr 4307
Description: A well-founded relation is irreflexive. Special case of Proposition 6.23 of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
frirr  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  -.  B R B )

Proof of Theorem frirr
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  R  Fr  A )
2 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  A )
32snssd 3701 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  { B }  C_  A )
4 snnzg 3684 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  { B }  =/=  (/) )
54adantl 454 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  { B }  =/=  (/) )
6 snex 4154 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
76frc 4296 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  { B }  C_  A  /\  { B }  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  { B }  {
x  e.  { B }  |  x R
y }  =  (/) )
81, 3, 5, 7syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  E. y  e.  { B }  { x  e.  { B }  |  x R y }  =  (/) )
9 rabeq0 3418 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  { B }  |  x R
y }  =  (/)  <->  A. x  e.  { B }  -.  x R y )
10 breq2 3967 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
x R y  <->  x R B ) )
1110notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R B ) )
1211ralbidv 2534 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A. x  e.  { B }  -.  x R y  <->  A. x  e.  { B }  -.  x R B ) )
139, 12syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( { x  e.  { B }  |  x R
y }  =  (/)  <->  A. x  e.  { B }  -.  x R B ) )
1413rexsng 3614 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( E. y  e.  { B }  { x  e.  { B }  |  x R y }  =  (/)  <->  A. x  e.  { B }  -.  x R B ) )
15 breq1 3966 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
x R B  <->  B R B ) )
1615notbid 287 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( -.  x R B  <->  -.  B R B ) )
1716ralsng 3613 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. x  e.  { B }  -.  x R B  <->  -.  B R B ) )
1814, 17bitrd 246 . . 3  |-  ( B  e.  A  ->  ( E. y  e.  { B }  { x  e.  { B }  |  x R y }  =  (/)  <->  -.  B R B ) )
1918adantl 454 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  ( E. y  e. 
{ B }  {
x  e.  { B }  |  x R
y }  =  (/)  <->  -.  B R B ) )
208, 19mpbid 203 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  -.  B R B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   {crab 2519    C_ wss 3094   (/)c0 3397   {csn 3581   class class class wbr 3963    Fr wfr 4286
This theorem is referenced by:  efrirr  4311  dfwe2  4510  efrunt  23396  predfrirr  23532  ifr0  26986  bnj1417  28083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-fr 4289
  Copyright terms: Public domain W3C validator