Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmelbas Structured version   Unicode version

Theorem frlmelbas 27239
Description: Membership in the base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmelbas.n  |-  N  =  ( Base `  R
)
frlmelbas.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmelbas.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
frlmelbas  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( X  e.  B  <->  ( X  e.  ( N  ^m  I )  /\  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin ) ) )

Proof of Theorem frlmelbas
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmval.f . . . . 5  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
2 frlmelbas.n . . . . 5  |-  N  =  ( Base `  R
)
3 frlmelbas.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 eqid 2442 . . . . 5  |-  { k  e.  ( N  ^m  I )  |  ( `' k " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { k  e.  ( N  ^m  I
)  |  ( `' k " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
51, 2, 3, 4frlmbas 27238 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  { k  e.  ( N  ^m  I )  |  ( `' k
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  F )
)
6 frlmelbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  F
)
75, 6syl6reqr 2493 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  B  =  { k  e.  ( N  ^m  I )  |  ( `' k " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin } )
87eleq2d 2509 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  { k  e.  ( N  ^m  I
)  |  ( `' k " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin } ) )
9 cnveq 5075 . . . . 5  |-  ( k  =  X  ->  `' k  =  `' X
)
109imaeq1d 5231 . . . 4  |-  ( k  =  X  ->  ( `' k " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
1110eleq1d 2508 . . 3  |-  ( k  =  X  ->  (
( `' k "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
1211elrab 3098 . 2  |-  ( X  e.  { k  e.  ( N  ^m  I
)  |  ( `' k " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  <-> 
( X  e.  ( N  ^m  I )  /\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
138, 12syl6bb 254 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( X  e.  B  <->  ( X  e.  ( N  ^m  I )  /\  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {crab 2715   _Vcvv 2962    \ cdif 3303   {csn 3838   `'ccnv 4906   "cima 4910   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    ^m cmap 7047   Fincfn 7138   Basecbs 13500   0gc0g 13754   freeLMod cfrlm 27227
This theorem is referenced by:  frlmbassup  27241  frlmbasmap  27242  uvcff  27255  frlmsplit2  27258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702  df-pws 13704  df-0g 13758  df-sra 16275  df-rgmod 16276  df-dsmm 27213  df-frlm 27229
  Copyright terms: Public domain W3C validator