Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmlss Unicode version

Theorem frlmlss 27087
Description: The base set of the free module is a subspace of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmpws.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
frlmlss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
Assertion
Ref Expression
frlmlss  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  e.  U )

Proof of Theorem frlmlss
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpws.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  F
)
2 frlmval.f . . . . 5  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
32frlmval 27084 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  F  =  ( R  (+)m  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )
43fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  F )  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )
51, 4syl5eq 2448 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )
6 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  I  e.  W )
7 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  Ring )
8 rlmlmod 16231 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (ringLMod `  R )  e.  LMod )
10 fconst6g 5591 . . . . 5  |-  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  -> 
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) : I --> LMod )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) : I --> LMod )
12 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  (ringLMod `  R
)  e.  _V
1312fvconst2 5906 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  I  ->  (
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) `  i )  =  (ringLMod `  R
) )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) `
 i )  =  (ringLMod `  R )
)
1514fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  (Scalar `  (
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) `  i ) )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) )
16 rlmsca 16226 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )
1716ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )
1815, 17eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  (Scalar `  (
( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) `  i ) )  =  R )
19 eqid 2404 . . . 4  |-  ( R
X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )
20 eqid 2404 . . . 4  |-  ( LSubSp `  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )  =  ( LSubSp `  ( R X_s ( I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )
21 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )
226, 7, 11, 18, 19, 20, 21dsmmlss 27078 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  e.  (
LSubSp `  ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) ) )
23 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
24 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )
2523, 24pwsval 13663 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  _V  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2612, 25mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  W  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2726adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2816eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )  =  R )
2928adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (Scalar `  (ringLMod `  R )
)  =  R )
3029oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
(Scalar `  (ringLMod `  R
) ) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
3127, 30eqtr2d 2437 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
3231fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( LSubSp `
 ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  =  (
LSubSp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
33 frlmlss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
3432, 33syl6eqr 2454 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( LSubSp `
 ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  =  U )
3522, 34eleqtrd 2480 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) ) )  e.  U
)
365, 35eqeltrd 2478 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   X_scprds 13624    ^s cpws 13625   Ringcrg 15615   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963  ringLModcrglmod 16196    (+)m cdsmm 27065   freeLMod cfrlm 27080
This theorem is referenced by:  frlm0  27090  frlmgsum  27100  frlmsplit2  27111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-dsmm 27066  df-frlm 27082
  Copyright terms: Public domain W3C validator