Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3 Structured version   Unicode version

Theorem frmdup3 14816
 Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m freeMnd
frmdup3.b
frmdup3.u varFMnd
Assertion
Ref Expression
frmdup3 MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem frmdup3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdup3.m . . 3 freeMnd
2 frmdup3.b . . 3
3 eqid 2438 . . 3 Word g Word g
4 simp1 958 . . 3
5 simp2 959 . . 3
6 simp3 960 . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6frmdup1 14814 . 2 Word g MndHom
84adantr 453 . . . . 5
95adantr 453 . . . . 5
106adantr 453 . . . . 5
11 frmdup3.u . . . . 5 varFMnd
12 simpr 449 . . . . 5
131, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12frmdup2 14815 . . . 4 Word g
1413mpteq2dva 4298 . . 3 Word g
15 eqid 2438 . . . . . 6
1615, 2mhmf 14748 . . . . 5 Word g MndHom Word g
177, 16syl 16 . . . 4 Word g
1811vrmdf 14808 . . . . . 6 Word
19183ad2ant2 980 . . . . 5 Word
201, 15frmdbas 14802 . . . . . . 7 Word
21203ad2ant2 980 . . . . . 6 Word
22 feq3 5581 . . . . . 6 Word Word
2321, 22syl 16 . . . . 5 Word
2419, 23mpbird 225 . . . 4
25 fcompt 5907 . . . 4 Word g Word g Word g
2617, 24, 25syl2anc 644 . . 3 Word g Word g
276feqmptd 5782 . . 3
2814, 26, 273eqtr4d 2480 . 2 Word g
2915, 2mhmf 14748 . . . . . . . 8 MndHom
3029ad2antrl 710 . . . . . . 7 MndHom
3121adantr 453 . . . . . . . 8 MndHom Word
3231feq2d 5584 . . . . . . 7 MndHom Word
3330, 32mpbid 203 . . . . . 6 MndHom Word
3433feqmptd 5782 . . . . 5 MndHom Word
35 simplrl 738 . . . . . . . 8 MndHom Word MndHom
36 simpr 449 . . . . . . . . 9 MndHom Word Word
3724ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 MndHom Word
38 wrdco 11805 . . . . . . . . 9 Word Word
3936, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . . 8 MndHom Word Word
4015gsumwmhm 14795 . . . . . . . 8 MndHom Word g g
4135, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . 7 MndHom Word g g
425ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 MndHom Word
431, 11frmdgsum 14812 . . . . . . . . 9 Word g
4442, 36, 43syl2anc 644 . . . . . . . 8 MndHom Word g
4544fveq2d 5735 . . . . . . 7 MndHom Word g
46 coass 5391 . . . . . . . . 9
47 simplrr 739 . . . . . . . . . 10 MndHom Word
4847coeq1d 5037 . . . . . . . . 9 MndHom Word
4946, 48syl5eqr 2484 . . . . . . . 8 MndHom Word
5049oveq2d 6100 . . . . . . 7 MndHom Word g g
5141, 45, 503eqtr3d 2478 . . . . . 6 MndHom Word g
5251mpteq2dva 4298 . . . . 5 MndHom Word Word g
5334, 52eqtrd 2470 . . . 4 MndHom Word g
5453expr 600 . . 3 MndHom Word g
5554ralrimiva 2791 . 2 MndHom Word g
56 coeq1 5033 . . . 4 Word g Word g
5756eqeq1d 2446 . . 3 Word g Word g
5857eqreu 3128 . 2 Word g MndHom Word g MndHom Word g MndHom
597, 28, 55, 58syl3anc 1185 1 MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wreu 2709   cmpt 4269   ccom 4885  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  Word cword 11722  cbs 13474   g cgsu 13729  cmnd 14689   MndHom cmhm 14741  freeMndcfrmd 14797  varFMndcvrmd 14798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-word 11728  df-concat 11729  df-s1 11730  df-substr 11731  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-frmd 14799  df-vrmd 14800
 Copyright terms: Public domain W3C validator