Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frmin Structured version   Unicode version

Theorem frmin 25517
 Description: Every (possibly proper) subclass of a class with a founded, set-like relation has a minimal element. Lemma 4.3 of Don Monk's notes for Advanced Set Theory, which can be found at http://euclid.colorado.edu/~monkd/settheory. This is a very strong generalization of tz6.26 25480 and tz7.5 4602. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
frmin Se
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem frmin
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frss 4549 . . . 4
2 sess2 4551 . . . 4 Se Se
31, 2anim12d 547 . . 3 Se Se
4 n0 3637 . . . 4
5 predeq3 25443 . . . . . . . . . . 11
65eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10
76rspcev 3052 . . . . . . . . 9
87ex 424 . . . . . . . 8
98adantl 453 . . . . . . 7 Se
10 setlikespec 25462 . . . . . . . . . . 11 Se
11 trpredpred 25506 . . . . . . . . . . . . 13
12 ssn0 3660 . . . . . . . . . . . . . 14
1312ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12
15 trpredss 25507 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15jctild 528 . . . . . . . . . . 11
1710, 16syl 16 . . . . . . . . . 10 Se
1817adantr 452 . . . . . . . . 9 Se
19 trpredex 25515 . . . . . . . . . . 11
20 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . 14
21 neeq1 2609 . . . . . . . . . . . . . 14
2220, 21anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13
23 predeq2 25442 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14
2524rexeqbi1dv 2913 . . . . . . . . . . . . 13
2622, 25imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12
2726imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11
28 dffr4 25457 . . . . . . . . . . . 12
29 sp 1763 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29sylbi 188 . . . . . . . . . . 11
3119, 27, 30vtocl 3006 . . . . . . . . . 10
3210, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11 Se
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 Se
34 trpredtr 25508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Se
3534imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 Se
36 sspred 25447 . . . . . . . . . . . . . . 15
3733, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 Se
3837eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . 13 Se
3938biimprd 215 . . . . . . . . . . . 12 Se
4039reximdva 2818 . . . . . . . . . . 11 Se
41 ssrexv 3408 . . . . . . . . . . 11
4232, 40, 41sylsyld 54 . . . . . . . . . 10 Se
4331, 42sylan9r 640 . . . . . . . . 9 Se
4418, 43syld 42 . . . . . . . 8 Se
4544an31s 782 . . . . . . 7 Se
469, 45pm2.61dne 2681 . . . . . 6 Se
4746ex 424 . . . . 5 Se
4847exlimdv 1646 . . . 4 Se
494, 48syl5bi 209 . . 3 Se
503, 49syl6com 33 . 2 Se
5150imp32 423 1 Se
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wal 1549  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706  cvv 2956   wss 3320  c0 3628   wfr 4538   Se wse 4539  cpred 25438  ctrpred 25495 This theorem is referenced by:  frind  25518 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-pred 25439  df-trpred 25496
 Copyright terms: Public domain W3C validator