Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frr3g Structured version   Unicode version

Theorem frr3g 25546
Description: Functions defined by founded recursion are identical up to relation, domain, and characteristic function. General version of frr3 (Contributed by Scott Fenton, 10-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
frr3g  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, G    y, H    y, R

Proof of Theorem frr3g
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
21ra5 3237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z ) ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  -> 
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) ) )
3 r19.26 2830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  A  (
( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  /\  ( G `
 y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  <-> 
( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
43anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  <-> 
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )
5 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
6 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
7 predeq3 25430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
z ) )
87reseq2d 5138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )
96, 8oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
105, 9eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) ) )
11 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
127reseq2d 5138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )
136, 12oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
1411, 13eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) ) )
1510, 14anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  <->  ( ( F `
 z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) ) ) )
1615rspcva 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  /\  ( G `
 y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  ->  ( ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  /\  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) ) )
17 predss 25433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  A
18 fvreseq 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  <->  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) ) )
1917, 18mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  <->  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) ) )
2019biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )
2120oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )
2221eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )
23 eqtr3 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )  ->  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( F `
 z ) )
2423eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
25 eqtr3 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F `  z
)  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( G `
 z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )
2625ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  ->  ( ( G `
 z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) )
2724, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )  ->  ( ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
2827expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )  ->  (
( ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )  /\  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( ( ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  /\  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) )
3029com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  z
)  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( G `
 z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) )  ->  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
3130exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  z
)  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( G `
 z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) )  ->  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
)  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
3216, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  /\  ( G `
 y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  ->  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( A. w  e. 
Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
3332ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  ->  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( A. w  e. 
Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) ) )
3433com23 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( A. y  e.  A  (
( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  /\  ( G `
 y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) ) )
3534imp3a 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
364, 35syl5bir 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
3736a2d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
382, 37syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  ->  ( (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
39 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
40 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  ( G `  z )  =  ( G `  w ) )
4139, 40eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
4241imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )  <->  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) )
4338, 42frins2g 25509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. z  e.  A  ( (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
44 rsp 2758 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  -> 
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
4645com3r 75 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
4746an4s 800 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  (
( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  ( z  e.  A  ->  ( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
4847com12 29 . . . . 5  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
49483impib 1151 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) )
5049ralrimiv 2780 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )
51 eqid 2435 . . 3  |-  A  =  A
5250, 51jctil 524 . 2  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( A  =  A  /\  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
53 eqfnfv2 5820 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( F  =  G  <-> 
( A  =  A  /\  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
5453ad2ant2r 728 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F  =  G  <->  ( A  =  A  /\  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
55543adant1 975 . 2  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F  =  G  <->  ( A  =  A  /\  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
5652, 55mpbird 224 1  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312    Fr wfr 4530   Se wse 4531    |` cres 4872    Fn wfn 5441   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Predcpred 25426
This theorem is referenced by:  frrlem5  25551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-pred 25427  df-trpred 25481
  Copyright terms: Public domain W3C validator