Theorem frsuc 4254

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation.

Assertion

Ref	Expression
frsuc	|- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (F` ((rec(F, A) |` om)` B)))

Proof of Theorem frsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 3225	. . 3 |- (B e. om -> B e. On)
2		rdgsuc 4246	. . 3 |- (B e. On -> (rec(F, A)` suc B) = (F` (rec(F, A)` B)))
3	1, 2	syl 10	. 2 |- (B e. om -> (rec(F, A)` suc B) = (F` (rec(F, A)` B)))
4		peano2b 3234	. . 3 |- (B e. om <-> suc B e. om)
5		fvres 3845	. . 3 |- (suc B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (rec(F, A)` suc B))
6	4, 5	sylbi 197	. 2 |- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (rec(F, A)` suc B))
7		fvres 3845	. . 3 |- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` B) = (rec(F, A)` B))
8	7	fveq2d 3839	. 2 |- (B e. om -> (F` ((rec(F, A) |` om)` B)) = (F` (rec(F, A)` B)))
9	3, 6, 8	3eqtr4d 1560	1 |- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (F` ((rec(F, A) |` om)` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 992   e. wcel 994  Oncon0 2975  suc csuc 2977  omcom 3218   |` cres 3253  ` cfv 3263  reccrdg 4232

This theorem is referenced by:  frsucopab 4255  inf3lemc 4756  expm 10937

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-rdg 4233

Copyright terms: Public domain