MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frsuc Unicode version

Theorem frsuc 6417
Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frsuc  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( F `
 ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )

Proof of Theorem frsuc
StepHypRef Expression
1 rdgdmlim 6398 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
2 limomss 4633 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
31, 2ax-mp 10 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
43sseli 3151 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  dom  rec ( F ,  A ) )
5 rdgsucg 6404 . . 3  |-  ( B  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  suc  B )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  B )
) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( rec ( F ,  A
) `  suc  B )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A ) `  B
) ) )
7 peano2b 4644 . . 3  |-  ( B  e.  om  <->  suc  B  e. 
om )
8 fvres 5475 . . 3  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( rec ( F ,  A
) `  suc  B ) )
97, 8sylbi 189 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( rec ( F ,  A
) `  suc  B ) )
10 fvres 5475 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  B )  =  ( rec ( F ,  A ) `  B ) )
1110fveq2d 5462 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  B )
) )
126, 9, 113eqtr4d 2300 1  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( F `
 ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3127   Lim wlim 4365   suc csuc 4366   omcom 4628   dom cdm 4661    |` cres 4663   ` cfv 4673   reccrdg 6390
This theorem is referenced by:  frsucmpt  6418  frsucmptn  6419  seqomlem1  6430  seqomlem4  6433  onasuc  6495  onmsuc  6496  onesuc  6497  inf3lemc  7295  alephfplem2  7700  ackbij2lem2  7834  infpssrlem2  7898  fin23lem34  7940  fin23lem35  7941  itunisuc  8013  om2uzrdg  10986  uzrdgsuci  10990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391
  Copyright terms: Public domain W3C validator