MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frsuc Unicode version

Theorem frsuc 6445
Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frsuc  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( F `
 ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )

Proof of Theorem frsuc
StepHypRef Expression
1 rdgdmlim 6426 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
2 limomss 4660 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
43sseli 3177 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  dom  rec ( F ,  A ) )
5 rdgsucg 6432 . . 3  |-  ( B  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  suc  B )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  B )
) )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( rec ( F ,  A
) `  suc  B )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A ) `  B
) ) )
7 peano2b 4671 . . 3  |-  ( B  e.  om  <->  suc  B  e. 
om )
8 fvres 5503 . . 3  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( rec ( F ,  A
) `  suc  B ) )
97, 8sylbi 187 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( rec ( F ,  A
) `  suc  B ) )
10 fvres 5503 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  B )  =  ( rec ( F ,  A ) `  B ) )
1110fveq2d 5490 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  B )
) )
126, 9, 113eqtr4d 2326 1  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( F `
 ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1685    C_ wss 3153   Lim wlim 4392   suc csuc 4393   omcom 4655    dom cdm 4688    |` cres 4690   ` cfv 5221   reccrdg 6418
This theorem is referenced by:  frsucmpt  6446  frsucmptn  6447  seqomlem1  6458  seqomlem4  6461  onasuc  6523  onmsuc  6524  onesuc  6525  inf3lemc  7323  alephfplem2  7728  ackbij2lem2  7862  infpssrlem2  7926  fin23lem34  7968  fin23lem35  7969  itunisuc  8041  om2uzrdg  11015  uzrdgsuci  11019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-recs 6384  df-rdg 6419
  Copyright terms: Public domain W3C validator