MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frsuc Unicode version

Theorem frsuc 6335
Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frsuc  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( F `
 ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )

Proof of Theorem frsuc
StepHypRef Expression
1 rdgdmlim 6316 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
2 limomss 4552 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
31, 2ax-mp 10 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
43sseli 3099 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  dom  rec ( F ,  A ) )
5 rdgsucg 6322 . . 3  |-  ( B  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  suc  B )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  B )
) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( rec ( F ,  A
) `  suc  B )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A ) `  B
) ) )
7 peano2b 4563 . . 3  |-  ( B  e.  om  <->  suc  B  e. 
om )
8 fvres 5394 . . 3  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( rec ( F ,  A
) `  suc  B ) )
97, 8sylbi 189 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( rec ( F ,  A
) `  suc  B ) )
10 fvres 5394 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  B )  =  ( rec ( F ,  A ) `  B ) )
1110fveq2d 5381 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  B )
) )
126, 9, 113eqtr4d 2295 1  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  suc  B
)  =  ( F `
 ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3078   Lim wlim 4286   suc csuc 4287   omcom 4547   dom cdm 4580    |` cres 4582   ` cfv 4592   reccrdg 6308
This theorem is referenced by:  frsucmpt  6336  frsucmptn  6337  seqomlem1  6348  seqomlem4  6351  onasuc  6413  onmsuc  6414  onesuc  6415  inf3lemc  7211  alephfplem2  7616  ackbij2lem2  7750  infpssrlem2  7814  fin23lem34  7856  fin23lem35  7857  itunisuc  7929  om2uzrdg  10897  uzrdgsuci  10901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309
  Copyright terms: Public domain W3C validator