Theorem frsucopab 3939

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation (special case where the generation function is an ordered pair abstraction).

Hypotheses

Ref	Expression
frsucopab.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
frsucopab.2	|- (z e. B -> A.x z e. B)
frsucopab.3	|- (z e. D -> A.x z e. D)
frsucopab.4	|- F = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
frsucopab.5	|- (x = (F` B) -> C = D)

Assertion

Ref	Expression
frsucopab	|- ((B e. om /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Distinct variable groups:   z,D   y,z,C   z,A   z,B   x,y,z

Proof of Theorem frsucopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuct 3938	. . 3 |- (B e. om -> ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)))
2		frsucopab.4	. . . 4 |- F = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
3	2	fveq1i 3710	. . 3 |- (F` suc B) = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` suc B)
4	1, 3	syl5eq 1511	. 2 |- (B e. om -> (F` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)))
5		fvex 3717	. . 3 |- ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) e. V
6		hbopab1 2802	. . . . . . 7 |- (z e. {<.x, y>. | y = C} -> A.x z e. {<.x, y>. | y = C})
7		frsucopab.1	. . . . . . 7 |- (z e. A -> A.x z e. A)
8	6, 7	hbrdg 3921	. . . . . 6 |- (z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A) -> A.x z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A))
9		ax-17 968	. . . . . 6 |- (z e. om -> A.x z e. om)
10	8, 9	hbres 3354	. . . . 5 |- (z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om) -> A.x z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om))
11		frsucopab.2	. . . . 5 |- (z e. B -> A.x z e. B)
12	10, 11	hbfv 3714	. . . 4 |- (z e. ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) -> A.x z e. ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B))
13		frsucopab.3	. . . 4 |- (z e. D -> A.x z e. D)
14	2	fveq1i 3710	. . . . . 6 |- (F` B) = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)
15	14	eqeq2i 1477	. . . . 5 |- (x = (F` B) <-> x = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B))
16		frsucopab.5	. . . . 5 |- (x = (F` B) -> C = D)
17	15, 16	sylbir 201	. . . 4 |- (x = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) -> C = D)
18	12, 13, 17	fvopabgf 3772	. . 3 |- ((((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) e. V /\ D e. R) -> ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)) = D)
19	5, 18	mpan 693	. 2 |- (D e. R -> ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)) = D)
20	4, 19	sylan9eq 1519	1 |- ((B e. om /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  {copab 2656  suc csuc 2940  omcom 3121   |` cres 3162  ` cfv 3172  reccrdg 3916

This theorem is referenced by:  unblem2 4518  unblem3 4519  inf0 4578  trcl 4617  alephfplem2 4869  om2uzsuc 6233

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917

Copyright terms: Public domain