Theorem frsuct 3953

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation.

Assertion

Ref	Expression
frsuct	|- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (F` ((rec(F, A) |` om)` B)))

Proof of Theorem frsuct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnont 3138	. . 3 |- (B e. om -> B e. On)
2		rdgsuct 3945	. . 3 |- (B e. On -> (rec(F, A)` suc B) = (F` (rec(F, A)` B)))
3	1, 2	syl 10	. 2 |- (B e. om -> (rec(F, A)` suc B) = (F` (rec(F, A)` B)))
4		peano2b 3147	. . 3 |- (B e. om <-> suc B e. om)
5		fvres 3734	. . 3 |- (suc B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (rec(F, A)` suc B))
6	4, 5	sylbi 199	. 2 |- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (rec(F, A)` suc B))
7		fvres 3734	. . 3 |- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` B) = (rec(F, A)` B))
8	7	fveq2d 3728	. 2 |- (B e. om -> (F` ((rec(F, A) |` om)` B)) = (F` (rec(F, A)` B)))
9	3, 6, 8	3eqtr4d 1517	1 |- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (F` ((rec(F, A) |` om)` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  Oncon0 2948  suc csuc 2950  omcom 3131   |` cres 3172  ` cfv 3182  reccrdg 3931

This theorem is referenced by:  frsucopab 3954  inf3lemc 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain