Theorem fsn 3773

Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of a ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. V
fsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fsn	|- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Proof of Theorem fsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1788	. . . . . . . . 9 |- y e. V
2	1	opelf 3579	. . . . . . . 8 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. {A} /\ y e. {B}))
3		elsn 2392	. . . . . . . . 9 |- (x e. {A} <-> x = A)
4		elsn 2392	. . . . . . . . 9 |- (y e. {B} <-> y = B)
5	3, 4	anbi12i 481	. . . . . . . 8 |- ((x e. {A} /\ y e. {B}) <-> (x = A /\ y = B))
6	2, 5	sylib 198	. . . . . . 7 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x = A /\ y = B))
7	6	ex 373	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F -> (x = A /\ y = B)))
8		opeq12 2458	. . . . . . . 8 |- ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. = <.A, B>.)
9	8	eleq1d 1516	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> (<.x, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
10		fsn.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. V
11	10	snid 2406	. . . . . . . . 9 |- A e. {A}
12		feu 3586	. . . . . . . . 9 |- ((F:{A}-->{B} /\ A e. {A}) -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
13	11, 12	mpan2 693	. . . . . . . 8 |- (F:{A}-->{B} -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
14		fsn.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. V
15	14	eueq1 1889	. . . . . . . . . 10 |- E!y y = B
16	15	biantru 721	. . . . . . . . 9 |- (<.A, B>. e. F <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
17		euanv 1409	. . . . . . . . 9 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
18		opeq2 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
19	18	eleq1d 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = B -> (<.A, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
20	19	pm5.32i 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y = B /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
21	4	anbi1i 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. {B} /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, y>. e. F))
22		ancom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
23	20, 21, 22	3bitr4r 184	. . . . . . . . . . 11 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
24	23	eubii 1364	. . . . . . . . . 10 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
25		df-reu 1627	. . . . . . . . . 10 |- (E!y e. {B}<.A, y>. e. F <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
26	24, 25	bitr4 176	. . . . . . . . 9 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
27	16, 17, 26	3bitr2 179	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. e. F <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
28	13, 27	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (F:{A}-->{B} -> <.A, B>. e. F)
29	9, 28	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. e. F))
30	7, 29	impbid 514	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> (x = A /\ y = B)))
31		opex 2750	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
32	31	elsnc 2402	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
33		visset 1788	. . . . . . 7 |- x e. V
34	33, 1, 14	opth 2754	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
35	32, 34	bitr2 174	. . . . 5 |- ((x = A /\ y = B) <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
36	30, 35	syl6bb 534	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
37	36	19.21aivv 1269	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
38		frel 3570	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> Rel F)
39	10	relsn 3216	. . . . 5 |- Rel {<.A, B>.}
40	38, 39	jctir 293	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (Rel F /\ Rel {<.A, B>.}))
41		eqrel 3212	. . . 4 |- ((Rel F /\ Rel {<.A, B>.}) -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
42	40, 41	syl 10	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
43	37, 42	mpbird 196	. 2 |- (F:{A}-->{B} -> F = {<.A, B>.})
44	10, 14	f1osn 3658	. . . 4 |- {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}
45		f1oeq1 3623	. . . 4 |- (F = {<.A, B>.} -> (F:{A}-1-1-onto->{B} <-> {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}))
46	44, 45	mpbiri 194	. . 3 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-1-1-onto->{B})
47		f1of 3628	. . 3 |- (F:{A}-1-1-onto->{B} -> F:{A}-->{B})
48	46, 47	syl 10	. 2 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-->{B})
49	43, 48	impbi 157	1 |- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950   = wceq 1099   e. wcel 1105  E!weu 1357  E!wreu 1623  Vcvv 1786  {csn 2380  <.cop 2382  Rel wrel 3138  -->wf 3141  -1-1-onto->wf1o 3144

This theorem is referenced by:  xpsn 3774  fsn2 3775  mapsn 4283

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-reu 1627  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160

Copyright terms: Public domain