Theorem fsum1 6958

Description: The finite sum of A(k) from k = M to M (i.e. a sum with only one term) is B i.e. A(M).

Hypothesis

Ref	Expression
fsum1.1	|- (k = M -> A = B)

Assertion

Ref	Expression
fsum1	|- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> sum_k e. (M...M)A = B)

Distinct variable groups:   B,k   k,M

Proof of Theorem fsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1814	. . . 4 |- (B e. C -> B e. V)
2		fsum1.1	. . . . . . . 8 |- (k = M -> A = B)
3	2	eleq1d 1538	. . . . . . 7 |- (k = M -> (A e. V <-> B e. V))
4	3	biimprcd 156	. . . . . 6 |- (B e. V -> (k = M -> A e. V))
5		elfz1eqt 6437	. . . . . 6 |- (k e. (M...M) -> k = M)
6	4, 5	syl5 21	. . . . 5 |- (B e. V -> (k e. (M...M) -> A e. V))
7	6	r19.21aiv 1711	. . . 4 |- (B e. V -> A.k e. (M...M)A e. V)
8		elfzelz 6427	. . . . . . 7 |- (k e. (M...M) -> k e. ZZ)
9		fvopab2 3786	. . . . . . . 8 |- ((k e. ZZ /\ A e. V) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A)
10	9	ex 373	. . . . . . 7 |- (k e. ZZ -> (A e. V -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A))
11	8, 10	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (M...M) -> (A e. V -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A))
12	11	r19.20i 1702	. . . . 5 |- (A.k e. (M...M)A e. V -> A.k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A)
13	12	sumeq2d 6944	. . . 4 |- (A.k e. (M...M)A e. V -> sum_k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = sum_k e. (M...M)A)
14	1, 7, 13	3syl 20	. . 3 |- (B e. C -> sum_k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = sum_k e. (M...M)A)
15		uzidt 6372	. . . 4 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>` M))
16		zex 6101	. . . . . 6 |- ZZ e. V
17	16	opabex2 3606	. . . . 5 |- {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)} e. V
18		hbopab1 2809	. . . . 5 |- (x e. {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)} -> A.k x e. {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})
19	17, 18	fsumserzf 6953	. . . 4 |- (M e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M))
20	15, 19	syl 10	. . 3 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M))
21	14, 20	sylan9req 1526	. 2 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> sum_k e. (M...M)A = ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M))
22		addex 5300	. . . 4 |- + e. V
23	22, 17	seqz1 6492	. . 3 |- (M e. ZZ -> ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M) = ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M))
24	23	adantl 388	. 2 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M) = ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M))
25		eqid 1474	. . . 4 |- {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)} = {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}
26	2, 25	fvopab4g 3774	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ B e. C) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M) = B)
27	26	ancoms 436	. 2 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M) = B)
28	21, 24, 27	3eqtrd 1509	1 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> sum_k e. (M...M)A = B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  Vcvv 1808  <.cop 2408  {copab 2662  ` cfv 3178  (class class class)co 3958   + caddc 5220  ZZcz 5281  ZZ>cuz 6362  ...cfz 6412   seq cseqz 6476  sum_csu 6932

This theorem is referenced by:  fsum1f 6960  fsumconst 6991  binomlem6 7024  binom 7025  bcxmas 7029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-sum 6933

Copyright terms: Public domain