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Theorem fsum2d 12555
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that  B ( j ) is a function of  j. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
fsum2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsum2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsum2d  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Distinct variable groups:    j, k,
z, A    B, k,
z    D, j, k    z, C    ph, j, k, z
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    D( z)

Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3367 . 2  |-  A  C_  A
2 fsum2d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3369 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 12483 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
5 iuneq1 4106 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) )
65sumeq1d 12495 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
) D )
74, 6eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) )
83, 7imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( (/)  C_  A  ->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  A  ->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
10 sseq1 3369 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
11 sumeq1 12483 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C
)
12 iuneq1 4106 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) )
1312sumeq1d 12495 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
1411, 13eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )
1510, 14imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  -> 
sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( x  C_  A  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
1615imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  A  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
17 sseq1 3369 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
18 sumeq1 12483 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C )
19 iuneq1 4106 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  U_ j  e.  w  ( { j }  X.  B )  =  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )
2019sumeq1d 12495 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D )
2118, 20eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) )
2217, 21imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  -> 
sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
2322imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  -> 
sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
24 sseq1 3369 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
25 sumeq1 12483 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C
)
26 iuneq1 4106 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
2726sumeq1d 12495 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
2825, 27eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  ( sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
2924, 28imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  -> 
sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( A  C_  A  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
3029imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  sum_ j  e.  w  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
31 sum0 12515 . . . . . 6  |-  sum_ z  e.  (/)  D  =  0
32 0iun 4148 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B )  =  (/)
3332sumeq1i 12492 . . . . . 6  |-  sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D  = 
sum_ z  e.  (/)  D
34 sum0 12515 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  0
3531, 33, 343eqtr4ri 2467 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D
3635a1ii 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  sum_ j  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) D ) )
37 ssun1 3510 . . . . . . . . . 10  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
38 sstr 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
3937, 38mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4039imim1i 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
42 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ph )
4342, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
4542, 44sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
4742, 46sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B
) )  ->  C  e.  CC )
48 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  -.  y  e.  x )
49 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  C_  A
)
50 biid 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  <->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
5141, 43, 45, 47, 48, 49, 50fsum2dlem 12554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
5251exp31 588 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
5352a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
5440, 53syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  C_  A  -> 
sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5554expcom 425 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  { y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) ) )
5655a2d 24 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
5756adantl 453 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  sum_ j  e.  x  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  sum_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 7349 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
592, 58mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
601, 59mpi 17 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  A  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   <.cop 3817   U_ciun 4093    X. cxp 4876   Fincfn 7109   CCcc 8988   0cc0 8990   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  fsumxp  12556  fsumcom2  12558  ovoliunlem1  19398  fsumvma  20997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
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