Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvds Structured version   Unicode version

Theorem fsumdvds 12885
 Description: If every term in a sum is divisible by , then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvds.1
fsumdvds.2
fsumdvds.3
fsumdvds.4
Assertion
Ref Expression
fsumdvds
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fsumdvds
StepHypRef Expression
1 0z 10285 . . . 4
2 dvds0 12857 . . . 4
31, 2mp1i 12 . . 3
4 simpr 448 . . 3
5 simplr 732 . . . . . . 7
6 fsumdvds.4 . . . . . . . 8
76adantlr 696 . . . . . . 7
85, 7eqbrtrrd 4226 . . . . . 6
9 fsumdvds.3 . . . . . . . 8
109adantlr 696 . . . . . . 7
11 0dvds 12862 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6
138, 12mpbid 202 . . . . 5
1413sumeq2dv 12489 . . . 4
15 fsumdvds.1 . . . . . . 7
1615adantr 452 . . . . . 6
1716olcd 383 . . . . 5
18 sumz 12508 . . . . 5
1917, 18syl 16 . . . 4
2014, 19eqtrd 2467 . . 3
213, 4, 203brtr4d 4234 . 2
2215adantr 452 . . . . 5
23 fsumdvds.2 . . . . . . 7
2423adantr 452 . . . . . 6
2524zcnd 10368 . . . . 5
269adantlr 696 . . . . . 6
2726zcnd 10368 . . . . 5
28 simpr 448 . . . . 5
2922, 25, 27, 28fsumdivc 12561 . . . 4
306adantlr 696 . . . . . 6
3124adantr 452 . . . . . . 7
32 simplr 732 . . . . . . 7
33 dvdsval2 12847 . . . . . . 7
3431, 32, 26, 33syl3anc 1184 . . . . . 6
3530, 34mpbid 202 . . . . 5
3622, 35fsumzcl 12521 . . . 4
3729, 36eqeltrd 2509 . . 3
3815, 9fsumzcl 12521 . . . . 5
3938adantr 452 . . . 4
40 dvdsval2 12847 . . . 4
4124, 28, 39, 40syl3anc 1184 . . 3
4237, 41mpbird 224 . 2
4321, 42pm2.61dane 2676 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   wss 3312   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cc0 8982   cdiv 9669  cz 10274  cuz 10480  csu 12471   cdivides 12844 This theorem is referenced by:  3dvds  12904  sylow1lem3  15226  sylow2alem2  15244 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845
 Copyright terms: Public domain W3C validator