MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumle Unicode version

Theorem fsumle 12465
Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumle.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumle.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
fsumle.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
fsumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumle
StepHypRef Expression
1 fsumle.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumle.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3 fsumle.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
42, 3resubcld 9358 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
5 fsumle.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
62, 3subge0d 9509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
75, 6mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
81, 4, 7fsumge0 12461 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( C  -  B ) )
92recnd 9008 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103recnd 9008 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
111, 9, 10fsumsub 12458 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C  -  B
)  =  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
128, 11breqtrd 4149 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
131, 2fsumrecl 12415 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  e.  RR )
141, 3fsumrecl 12415 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
1513, 14subge0d 9509 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B )  <->  sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
)
1612, 15mpbid 201 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1715   class class class wbr 4125  (class class class)co 5981   Fincfn 7006   RRcr 8883   0cc0 8884    <_ cle 9015    - cmin 9184   sum_csu 12366
This theorem is referenced by:  o1fsum  12479  climcndslem1  12516  climcndslem2  12517  mertenslem1  12548  ovoliunlem1  19076  ovolicc2lem4  19094  uniioombllem4  19156  dvfsumle  19583  dvfsumabs  19585  mtest  19998  mtestbdd  19999  abelthlem7  20032  birthdaylem3  20470  fsumharmonic  20528  ftalem1  20533  ftalem5  20537  basellem8  20548  chtleppi  20672  chpub  20682  logfaclbnd  20684  bposlem1  20746  chebbnd1lem1  20841  chtppilimlem1  20845  vmadivsum  20854  rplogsumlem1  20856  rplogsumlem2  20857  rpvmasumlem  20859  dchrisumlem2  20862  dchrmusum2  20866  dchrvmasumlem3  20871  dchrvmasumiflem1  20873  dchrisum0fno1  20883  dchrisum0lem1  20888  dchrisum0lem2a  20889  mudivsum  20902  mulogsumlem  20903  mulog2sumlem2  20907  vmalogdivsum2  20910  2vmadivsumlem  20912  selberglem2  20918  selbergb  20921  selberg2b  20924  chpdifbndlem1  20925  logdivbnd  20928  selberg3lem1  20929  selberg4lem1  20932  pntrlog2bndlem1  20949  pntrlog2bndlem2  20950  pntrlog2bndlem3  20951  pntrlog2bndlem5  20953  pntrlog2bndlem6  20955  pntpbnd2  20959  pntlemj  20975  geomcau  26067  stoweidlem11  27351  stoweidlem26  27366  stoweidlem38  27378  stoweidlem44  27384  stirlinglem12  27425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-ico 10815  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367
  Copyright terms: Public domain W3C validator