MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumle Unicode version

Theorem fsumle 12566
Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumle.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumle.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
fsumle.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
fsumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumle
StepHypRef Expression
1 fsumle.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumle.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3 fsumle.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
42, 3resubcld 9454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
5 fsumle.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
62, 3subge0d 9605 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
75, 6mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
81, 4, 7fsumge0 12562 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( C  -  B ) )
92recnd 9103 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103recnd 9103 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
111, 9, 10fsumsub 12559 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C  -  B
)  =  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
128, 11breqtrd 4228 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
131, 2fsumrecl 12516 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  e.  RR )
141, 3fsumrecl 12516 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
1513, 14subge0d 9605 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B )  <->  sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
)
1612, 15mpbid 202 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6072   Fincfn 7100   RRcr 8978   0cc0 8979    <_ cle 9110    - cmin 9280   sum_csu 12467
This theorem is referenced by:  o1fsum  12580  climcndslem1  12617  climcndslem2  12618  mertenslem1  12649  ovoliunlem1  19386  ovolicc2lem4  19404  uniioombllem4  19466  dvfsumle  19893  dvfsumabs  19895  mtest  20308  mtestbdd  20309  abelthlem7  20342  birthdaylem3  20780  fsumharmonic  20838  ftalem1  20843  ftalem5  20847  basellem8  20858  chtleppi  20982  chpub  20992  logfaclbnd  20994  bposlem1  21056  chebbnd1lem1  21151  chtppilimlem1  21155  vmadivsum  21164  rplogsumlem1  21166  rplogsumlem2  21167  rpvmasumlem  21169  dchrisumlem2  21172  dchrmusum2  21176  dchrvmasumlem3  21181  dchrvmasumiflem1  21183  dchrisum0fno1  21193  dchrisum0lem1  21198  dchrisum0lem2a  21199  mudivsum  21212  mulogsumlem  21213  mulog2sumlem2  21217  vmalogdivsum2  21220  2vmadivsumlem  21222  selberglem2  21228  selbergb  21231  selberg2b  21234  chpdifbndlem1  21235  logdivbnd  21238  selberg3lem1  21239  selberg4lem1  21242  pntrlog2bndlem1  21259  pntrlog2bndlem2  21260  pntrlog2bndlem3  21261  pntrlog2bndlem5  21263  pntrlog2bndlem6  21265  pntpbnd2  21269  pntlemj  21285  geomcau  26402  stoweidlem11  27674  stoweidlem26  27689  stoweidlem38  27701  stirlinglem12  27748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-ico 10911  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468
  Copyright terms: Public domain W3C validator