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Theorem fsumo1 12286
Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set  B does not depend on  x) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumo1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fsumo1.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fsumo1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
fsumo1.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
fsumo1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem fsumo1
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3210 . 2  |-  B  C_  B
2 fsumo1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 12178 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 12210 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
87eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O ( 1 ) ) )
93, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 ) )  <->  ( (/)  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O
( 1 ) ) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 ) ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
11 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  B  <->  y  C_  B ) )
12 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  y  C )
1312mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )
)
1413eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) ) )
1511, 14imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 ) )  <-> 
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) ) ) )
1615imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( y 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
17 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  B 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )
18 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )
1918mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C ) )
2019eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) )
2117, 20imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 ) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) )
2221imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
23 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  B  <->  B  C_  B
) )
24 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
2524mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
2625eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  O ( 1 ) ) )
2723, 26imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 ) )  <-> 
( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) ) ) )
2827imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( B 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
29 fsumo1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
30 0cn 8847 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
31 o1const 12109 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  e.  O ( 1 ) )
3229, 30, 31sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O
( 1 ) )
3332a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  e.  O
( 1 ) ) )
34 ssun1 3351 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
35 sstr 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B )  -> 
y  C_  B )
3634, 35mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  y  C_  B )
3736imim1i 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) ) )
38 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  -.  z  e.  y
)
39 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4038, 39sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
42 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
432adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  B  e.  Fin )
44 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  B )
45 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
4643, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
4746adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
4844sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  k  e.  B )
4948adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  B
)
50 fsumo1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
5150anass1rs 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
52 fsumo1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) )
5351, 52o1mptrcl 12112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5453an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5554adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5649, 55syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  C  e.  CC )
5741, 42, 47, 56fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
) )
58 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w C
59 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ C
60 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  C  =  [_ w  /  k ]_ C )
6158, 59, 60cbvsumi 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  { z } C  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ C
62 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
6362, 44syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  { z }  C_  B )
64 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
6564snss 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
6663, 65sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
z  e.  B )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
6855ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
69 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ C
7069nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ C  e.  CC
71 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  z  ->  C  =  [_ z  /  k ]_ C )
7271eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
7370, 72rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7467, 68, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
75 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
7675sumsn 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
7767, 74, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
7861, 77syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  {
z } C  = 
[_ z  /  k ]_ C )
7978oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
)  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
8057, 79eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
8180mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
8229adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A  C_  RR )
83 reex 8844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  e.  _V
8483ssex 4174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
8582, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A  e.  _V )
86 sumex 12176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ k  e.  y  C  e.  _V
8786a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  y  C  e.  _V )
88 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C ) )
89 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
9085, 87, 74, 88, 89offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
9181, 90eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
93 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) )
9452ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
9594adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
96 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k A
9796, 69nfmpt 4124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )
9897nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O
( 1 )
9971mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
10099eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  e.  O ( 1 ) ) )
10198, 100rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O
( 1 ) ) )
10266, 95, 101sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O
( 1 ) )
103 o1add 12103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )  e.  O
( 1 ) )
10493, 102, 103syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )  e.  O
( 1 ) )
10592, 104eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) )
106105ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) )
107106expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) )
108107a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) )
10937, 108syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) )
110109expcom 424 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
111110a2d 23 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
112111adantl 452 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
11310, 16, 22, 28, 33, 112findcard2s 7115 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) ) ) )
1142, 113mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) ) )
1151, 114mpi 16 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756   O ( 1 )co1 11976   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  20677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-sum 12175
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