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Theorem fsumo1 12593
Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set  B does not depend on  x) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumo1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fsumo1.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fsumo1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
fsumo1.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
fsumo1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem fsumo1
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3369 . 2  |-  B  C_  B
2 fsumo1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 12485 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 12517 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4298 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
87eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O ( 1 ) ) )
93, 8imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 ) )  <->  ( (/)  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O
( 1 ) ) ) )
109imbi2d 309 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 ) ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
11 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  B  <->  y  C_  B ) )
12 sumeq1 12485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  y  C )
1312mpteq2dv 4298 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )
)
1413eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) ) )
1511, 14imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 ) )  <-> 
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) ) ) )
1615imbi2d 309 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( y 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
17 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  B 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )
18 sumeq1 12485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )
1918mpteq2dv 4298 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C ) )
2019eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) )
2117, 20imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 ) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) )
2221imbi2d 309 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
23 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  B  <->  B  C_  B
) )
24 sumeq1 12485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
2524mpteq2dv 4298 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
2625eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  O ( 1 ) ) )
2723, 26imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O
( 1 ) )  <-> 
( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) ) ) )
2827imbi2d 309 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O ( 1 ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( B 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
29 fsumo1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
30 0cn 9086 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
31 o1const 12415 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  e.  O ( 1 ) )
3229, 30, 31sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O
( 1 ) )
3332a1d 24 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  e.  O
( 1 ) ) )
34 ssun1 3512 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
35 sstr 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B )  -> 
y  C_  B )
3634, 35mpan 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  y  C_  B )
3736imim1i 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) ) )
38 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  -.  z  e.  y
)
39 disjsn 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4038, 39sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
42 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
432adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  B  e.  Fin )
44 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  B )
45 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
4643, 44, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
4746adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
4844sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  k  e.  B )
4948adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  B
)
50 fsumo1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
5150anass1rs 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
52 fsumo1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) )
5351, 52o1mptrcl 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5453an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5554adantllr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5649, 55syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  C  e.  CC )
5741, 42, 47, 56fsumsplit 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
) )
58 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w C
59 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ C
60 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  C  =  [_ w  /  k ]_ C )
6158, 59, 60cbvsumi 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  { z } C  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ C
6244unssbd 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  { z }  C_  B )
63 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
6463snss 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
6562, 64sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
z  e.  B )
6665adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
6755ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
68 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ C
6968nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ C  e.  CC
70 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  z  ->  C  =  [_ z  /  k ]_ C )
7170eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
7269, 71rspc 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7366, 67, 72sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
74 csbeq1 3256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
7574sumsn 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
7666, 73, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
7761, 76syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  {
z } C  = 
[_ z  /  k ]_ C )
7877oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
)  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
7957, 78eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
8079mpteq2dva 4297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
8129adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A  C_  RR )
82 reex 9083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  e.  _V
8382ssex 4349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
8481, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A  e.  _V )
85 sumex 12483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ k  e.  y  C  e.  _V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  y  C  e.  _V )
87 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C ) )
88 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
8984, 86, 73, 87, 88offval2 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
9080, 89eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
9190adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
92 id 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) )
9352ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
9493adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
95 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k A
9695, 68nfmpt 4299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )
9796nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O
( 1 )
9870mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
9998eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  e.  O ( 1 ) ) )
10097, 99rspc 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O
( 1 ) ) )
10165, 94, 100sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O
( 1 ) )
102 o1add 12409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )  e.  O
( 1 ) )
10392, 101, 102syl2anr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  o F  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )  e.  O
( 1 ) )
10491, 103eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) )
105104ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) )
106105expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) )
107106a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) )
10837, 107syl5 31 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) )
109108expcom 426 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
110109a2d 25 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O ( 1 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
111110adantl 454 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O
( 1 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O ( 1 ) ) ) ) )
11210, 16, 22, 28, 33, 111findcard2s 7351 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) ) ) )
1132, 112mpcom 35 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) ) )
1141, 113mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   [_csb 3253    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816    e. cmpt 4268  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   Fincfn 7111   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995   O ( 1 )co1 12282   sum_csu 12481
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  21208
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-o1 12286  df-sum 12482
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