Theorem fsump1f 7011

Description: The addition of the next term in a finite sum of A(k) is the previous term plus A(N + 1) = B.

Hypotheses

Ref	Expression
fsump1f.1	|- A e. V
fsump1f.2	|- B e. V
fsump1f.3	|- (x e. B -> A.k x e. B)
fsump1f.4	|- (k = (N + 1) -> A = B)

Assertion

Ref	Expression
fsump1f	|- (N e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...(N + 1))A = (sum_k e. (M...N)A + B))

Distinct variable groups:   x,B   k,N   x,k

Proof of Theorem fsump1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 2005	. . . 4 |- [_j / k]_A = {y | [j / k]y e. A}
2		visset 1816	. . . . 5 |- j e. V
3		fsump1f.1	. . . . 5 |- A e. V
4	2, 3	csbex 2012	. . . 4 |- [_j / k]_A e. V
5	1, 4	eqeltrr 1548	. . 3 |- {y | [j / k]y e. A} e. V
6		fsump1f.2	. . 3 |- B e. V
7	2	eqvinc 1886	. . . 4 |- (j = (N + 1) <-> E.k(k = j /\ k = (N + 1)))
8	2	hbsbc1v 1953	. . . . . . 7 |- ([j / k]y e. A -> A.k[j / k]y e. A)
9	8	hbab 1470	. . . . . 6 |- (z e. {y | [j / k]y e. A} -> A.k z e. {y | [j / k]y e. A})
10		fsump1f.3	. . . . . 6 |- (x e. B -> A.k x e. B)
11	9, 10	hbeq 1568	. . . . 5 |- ({y | [j / k]y e. A} = B -> A.k{y | [j / k]y e. A} = B)
12		sbab 1586	. . . . . 6 |- (k = j -> A = {y | [j / k]y e. A})
13		fsump1f.4	. . . . . 6 |- (k = (N + 1) -> A = B)
14	12, 13	sylan9req 1531	. . . . 5 |- ((k = j /\ k = (N + 1)) -> {y | [j / k]y e. A} = B)
15	11, 14	19.23ai 1066	. . . 4 |- (E.k(k = j /\ k = (N + 1)) -> {y | [j / k]y e. A} = B)
16	7, 15	sylbi 199	. . 3 |- (j = (N + 1) -> {y | [j / k]y e. A} = B)
17	5, 6, 16	fsump1 7006	. 2 |- (N e. (ZZ>` M) -> sum_j e. (M...(N + 1)){y | [j / k]y e. A} = (sum_j e. (M...N){y | [j / k]y e. A} + B))
18		ax-17 973	. . 3 |- (z e. A -> A.j z e. A)
19	18, 9, 12	cbvsum 6986	. 2 |- sum_k e. (M...(N + 1))A = sum_j e. (M...(N + 1)){y | [j / k]y e. A}
20	18, 9, 12	cbvsum 6986	. . 3 |- sum_k e. (M...N)A = sum_j e. (M...N){y | [j / k]y e. A}
21	20	opreq1i 3977	. 2 |- (sum_k e. (M...N)A + B) = (sum_j e. (M...N){y | [j / k]y e. A} + B)
22	17, 19, 21	3eqtr4g 1534	1 |- (N e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...(N + 1))A = (sum_k e. (M...N)A + B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  [wsbc 1172  {cab 1466  Vcvv 1814  [_csb 2004  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  1c1 5247   + caddc 5249  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  fsump1slem 7012  fsum0diaglem2 7257

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain