Theorem fsump1slem 6901

Description: Lemma for fsump1s 6902.

Hypothesis

Ref	Expression
fsump1slem.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
fsump1slem	|- (N e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...(N + 1))A = (sum_k e. (M...N)A + [_(N + 1) / k]_A))

Proof of Theorem fsump1slem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3907	. . . . 5 |- (j = N -> (j + 1) = (N + 1))
2	1	opreq2d 3915	. . . 4 |- (j = N -> (M...(j + 1)) = (M...(N + 1)))
3	2	sumeq1d 6879	. . 3 |- (j = N -> sum_k e. (M...(j + 1))A = sum_k e. (M...(N + 1))A)
4		opreq2 3908	. . . . 5 |- (j = N -> (M...j) = (M...N))
5	4	sumeq1d 6879	. . . 4 |- (j = N -> sum_k e. (M...j)A = sum_k e. (M...N)A)
6	1	csbeq1d 1975	. . . 4 |- (j = N -> [_(j + 1) / k]_A = [_(N + 1) / k]_A)
7	5, 6	opreq12d 3917	. . 3 |- (j = N -> (sum_k e. (M...j)A + [_(j + 1) / k]_A) = (sum_k e. (M...N)A + [_(N + 1) / k]_A))
8	3, 7	eqeq12d 1465	. 2 |- (j = N -> (sum_k e. (M...(j + 1))A = (sum_k e. (M...j)A + [_(j + 1) / k]_A) <-> sum_k e. (M...(N + 1))A = (sum_k e. (M...N)A + [_(N + 1) / k]_A)))
9		fsump1slem.1	. . 3 |- A e. V
10		oprex 3922	. . . 4 |- (j + 1) e. V
11	10, 9	csbex 1980	. . 3 |- [_(j + 1) / k]_A e. V
12		ax-17 1190	. . . 4 |- (x e. (j + 1) -> A.k x e. (j + 1))
13	10, 12	hbcsb1 1996	. . 3 |- (x e. [_(j + 1) / k]_A -> A.k x e. [_(j + 1) / k]_A)
14		csbeq1a 1977	. . 3 |- (k = (j + 1) -> A = [_(j + 1) / k]_A)
15	9, 11, 13, 14	fsump1f 6900	. 2 |- (j e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...(j + 1))A = (sum_k e. (M...j)A + [_(j + 1) / k]_A))
16	8, 15	vtoclga 1827	1 |- (N e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...(N + 1))A = (sum_k e. (M...N)A + [_(N + 1) / k]_A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786  [_csb 1972  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  1c1 5158   + caddc 5160  ZZ>cuz 6300  ...cfz 6350  sum_csu 6868

This theorem is referenced by:  fsump1s 6902  fsum2 6912  fsum3 6913  fsum4 6914  csbfsumlem 6915  fsumcnlem 7871

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-n 5824  df-n0 5998  df-z 6034  df-seq1 6196  df-shft 6229  df-uz 6301  df-fz 6351  df-seqz 6416  df-sum 6869

Copyright terms: Public domain