MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta Unicode version

Theorem fta 20244
Description: The Fundamental Theorem of Algebra. Any polynomial with positive degree (i.e. non-constant) has a root. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
fta  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Distinct variable groups:    z, F    z, S

Proof of Theorem fta
StepHypRef Expression
1 eqid 2256 . . . 4  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
2 eqid 2256 . . . 4  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
3 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  (deg `  F
)  e.  NN )
5 eqid 2256 . . . 4  |-  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  (
( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )  =  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_ 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
6 eqid 2256 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F
) `  (deg `  F
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6ftalem2 20238 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. r  e.  RR+  A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) ) )
8 simpll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
9 simplr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (deg `  F )  e.  NN )
10 eqid 2256 . . . . . 6  |-  { s  e.  CC  |  ( abs `  s )  <_  r }  =  { s  e.  CC  |  ( abs `  s
)  <_  r }
11 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
12 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
13 simprr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) )
14 fveq2 5423 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  x
) )
1514breq2d 3975 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
r  <  ( abs `  y )  <->  r  <  ( abs `  x ) ) )
16 fveq2 5423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
1716fveq2d 5427 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
1817breq2d 3975 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
1915, 18imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( r  <  ( abs `  y )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) ) )  <->  ( r  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
2019cbvralv 2717 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) )  <->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
2113, 20sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
221, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 21ftalem3 20239 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
2322expr 601 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
2423rexlimdva 2638 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  ( E. r  e.  RR+  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
257, 24mpd 16 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
26 simpll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
27 simplr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
(deg `  F )  e.  NN )
28 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
z  e.  CC )
29 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
( F `  z
)  =/=  0 )
301, 2, 26, 27, 28, 29ftalem7 20243 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
3130expr 601 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( F `
 z )  =/=  0  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
3231necon4ad 2480 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  ( F `  z )  =  0 ) )
3332reximdva 2626 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 ) )
3425, 33mpd 16 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   {crab 2519   ifcif 3506   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   0cc0 8670   1c1 8671    < clt 8800    <_ cle 8801    / cdiv 9356   NNcn 9679   2c2 9728   RR+crp 10286   abscabs 11649   TopOpenctopn 13253  ℂfldccnfld 16304  Polycply 19493  coeffccoe 19495  degcdgr 19496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-cmp 17041  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-0p 18952  df-limc 19143  df-dv 19144  df-ply 19497  df-idp 19498  df-coe 19499  df-dgr 19500  df-log 19841  df-cxp 19842
  Copyright terms: Public domain W3C validator