MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta Unicode version

Theorem fta 20280
Description: The Fundamental Theorem of Algebra. Any polynomial with positive degree (i.e. non-constant) has a root. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
fta  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Distinct variable groups:    z, F    z, S

Proof of Theorem fta
StepHypRef Expression
1 eqid 2258 . . . 4  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
2 eqid 2258 . . . 4  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
3 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  (deg `  F
)  e.  NN )
5 eqid 2258 . . . 4  |-  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  (
( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )  =  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_ 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
6 eqid 2258 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F
) `  (deg `  F
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6ftalem2 20274 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. r  e.  RR+  A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) ) )
8 simpll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
9 simplr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (deg `  F )  e.  NN )
10 eqid 2258 . . . . . 6  |-  { s  e.  CC  |  ( abs `  s )  <_  r }  =  { s  e.  CC  |  ( abs `  s
)  <_  r }
11 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
12 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
13 simprr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) )
14 fveq2 5458 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  x
) )
1514breq2d 4009 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
r  <  ( abs `  y )  <->  r  <  ( abs `  x ) ) )
16 fveq2 5458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
1716fveq2d 5462 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
1817breq2d 4009 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
1915, 18imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( r  <  ( abs `  y )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) ) )  <->  ( r  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
2019cbvralv 2739 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) )  <->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
2113, 20sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
221, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 21ftalem3 20275 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
2322expr 601 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
2423rexlimdva 2642 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  ( E. r  e.  RR+  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
257, 24mpd 16 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
26 simpll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
27 simplr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
(deg `  F )  e.  NN )
28 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
z  e.  CC )
29 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
( F `  z
)  =/=  0 )
301, 2, 26, 27, 28, 29ftalem7 20279 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
3130expr 601 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( F `
 z )  =/=  0  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
3231necon4ad 2482 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  ( F `  z )  =  0 ) )
3332reximdva 2630 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 ) )
3425, 33mpd 16 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519   {crab 2522   ifcif 3539   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   0cc0 8705   1c1 8706    < clt 8835    <_ cle 8836    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   RR+crp 10322   abscabs 11685   TopOpenctopn 13289  ℂfldccnfld 16340  Polycply 19529  coeffccoe 19531  degcdgr 19532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ioo 10627  df-ioc 10628  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-mod 10941  df-seq 11014  df-exp 11072  df-fac 11256  df-bc 11283  df-hash 11305  df-shft 11528  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-limsup 11911  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-sum 12125  df-ef 12312  df-sin 12314  df-cos 12315  df-pi 12317  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-hom 13195  df-cco 13196  df-rest 13290  df-topn 13291  df-topgen 13307  df-pt 13308  df-prds 13311  df-xrs 13366  df-0g 13367  df-gsum 13368  df-qtop 13373  df-imas 13374  df-xps 13376  df-mre 13451  df-mrc 13452  df-acs 13454  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-mulg 14455  df-cntz 14756  df-cmn 15054  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-cnfld 16341  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-topsp 16603  df-cld 16719  df-ntr 16720  df-cls 16721  df-nei 16798  df-lp 16831  df-perf 16832  df-cn 16920  df-cnp 16921  df-haus 17006  df-cmp 17077  df-tx 17220  df-hmeo 17409  df-fbas 17483  df-fg 17484  df-fil 17504  df-fm 17596  df-flim 17597  df-flf 17598  df-xms 17848  df-ms 17849  df-tms 17850  df-cncf 18345  df-0p 18988  df-limc 19179  df-dv 19180  df-ply 19533  df-idp 19534  df-coe 19535  df-dgr 19536  df-log 19877  df-cxp 19878
  Copyright terms: Public domain W3C validator