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Theorem ftalem1 20305
Description: Lemma for fta 20312: "growth lemma". There exists some  r such that  F is arbitrarily close in proportion to its dominant term. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem1.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftalem1.6  |-  T  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )
Assertion
Ref Expression
ftalem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, r, x, A    E, r    k, N, r, x    k, F, r, x    ph, k, x    S, k    T, k, r, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    S( x, r)    E( x, k)

Proof of Theorem ftalem1
StepHypRef Expression
1 ftalem1.6 . . . 4  |-  T  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )
2 fzfid 11030 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
3 ftalem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  F )
54coef3 19609 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
63, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
7 elfznn0 10817 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
8 ffvelrn 5625 . . . . . . . 8  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
96, 7, 8syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
109abscld 11913 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( A `  k ) )  e.  RR )
112, 10fsumrecl 12202 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR )
12 ftalem1.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1311, 12rerpdivcld 10413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )  e.  RR )
141, 13syl5eqel 2369 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
15 1re 8833 . . 3  |-  1  e.  RR
16 ifcl 3603 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  e.  RR )
1714, 15, 16sylancl 645 . 2  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  e.  RR )
183adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
19 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  x  e.  CC )
20 ftalem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  (deg `  F )
214, 20coeid2 19616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `  x )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) ) )
2218, 19, 21syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) ) )
23 ftalem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2423nnnn0d 10014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2524adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
26 nn0uz 10258 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2725, 26syl6eleq 2375 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
28 elfznn0 10817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
296adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  A : NN0 --> CC )
3029, 8sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
31 expcl 11116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ k
)  e.  CC )
3219, 31sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ k
)  e.  CC )
3330, 32mulcld 8851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) )  e.  CC )
3428, 33sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  e.  CC )
35 fveq2 5486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  ( A `  k )  =  ( A `  N ) )
36 oveq2 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  (
x ^ k )  =  ( x ^ N ) )
3735, 36oveq12d 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  =  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )
3827, 34, 37fsumm1 12211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  +  ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )
3922, 38eqtrd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  +  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) )
4039oveq1d 5835 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) )  +  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) )
41 fzfid 11030 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
427, 33sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  e.  CC )
4341, 42fsumcl 12201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  e.  CC )
44 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
4529, 25, 44syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
4619, 25expcld 11240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
4745, 46mulcld 8851 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  e.  CC )
4843, 47pncand 9154 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  +  ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) ) )
4940, 48eqtrd 2317 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) ) )
5049fveq2d 5490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) ) ) )
5143abscld 11913 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  e.  RR )
5242abscld 11913 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  e.  RR )
5341, 52fsumrecl 12202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  e.  RR )
5412adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  E  e.  RR+ )
5554rpred 10386 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  E  e.  RR )
5619abscld 11913 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
5756, 25reexpcld 11257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  RR )
5855, 57remulcld 8859 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  e.  RR )
5941, 42fsumabs 12254 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) ) )
6011adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  e.  RR )
6123adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN )
62 nnm1nn0 10001 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN0 )
6456, 63reexpcld 11257 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6560, 64remulcld 8859 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
6610adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR )
6764adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6866, 67remulcld 8859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
6930, 32absmuld 11931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  (
x ^ k ) ) ) )
707, 69sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  (
x ^ k ) ) ) )
717, 32sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( x ^
k )  e.  CC )
7271abscld 11913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
x ^ k ) )  e.  RR )
737, 30sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
7473absge0d 11921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( A `  k ) ) )
75 absexp 11784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
x ^ k ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ k ) )
7619, 7, 75syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
x ^ k ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ k ) )
7756adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
7815a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  e.  RR )
7917adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  e.  RR )
80 max1 10509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
8115, 14, 80sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
8281adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
83 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) )
8478, 79, 56, 82, 83lelttrd 8970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <  ( abs `  x ) )
8578, 56, 84ltled 8963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  x ) )
8685adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <_  ( abs `  x ) )
87 elfzuz3 10790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
8887adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
8977, 86, 88leexp2ad 11272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  x ) ^ k
)  <_  ( ( abs `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )
9076, 89eqbrtrd 4045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
x ^ k ) )  <_  ( ( abs `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )
9172, 67, 66, 74, 90lemul2ad 9693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  ( abs `  ( x ^
k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9270, 91eqbrtrd 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A `  k ) )  x.  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9341, 52, 68, 92fsumle 12252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
9464recnd 8857 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
9566recnd 8857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( A `  k )
)  e.  CC )
9641, 94, 95fsummulc1 12242 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
9793, 96breqtrrd 4051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
9814adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  e.  RR )
99 max2 10511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  T  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
10015, 14, 99sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
101100adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <_  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 ) )
10298, 79, 56, 101, 83lelttrd 8970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <  ( abs `  x
) )
1031, 102syl5eqbrr 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )  <  ( abs `  x
) )
10460, 56, 54ltdivmuld 10433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )  <  ( abs `  x
)  <->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  <  ( E  x.  ( abs `  x
) ) ) )
105103, 104mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  <  ( E  x.  ( abs `  x ) ) )
10655, 56remulcld 8859 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR )
10763nn0zd 10111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ZZ )
108 0re 8834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
109108a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  e.  RR )
110 0lt1 9292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
111110a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  <  1 )
112109, 78, 56, 111, 84lttrd 8973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  <  ( abs `  x ) )
113 expgt0 11130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  x
) )  ->  0  <  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )
11456, 107, 112, 113syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )
115 ltmul1 9602 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR  /\  ( E  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR  /\  (
( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  <  ( E  x.  ( abs `  x ) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <  ( ( E  x.  ( abs `  x
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
11660, 106, 64, 114, 115syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  <  ( E  x.  ( abs `  x
) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  <  (
( E  x.  ( abs `  x ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
117105, 116mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <  ( ( E  x.  ( abs `  x
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
11856recnd 8857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
119 expm1t 11125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
) ^ N )  =  ( ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( abs `  x
) ) )
120118, 61, 119syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  =  ( ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( abs `  x
) ) )
12194, 118mulcomd 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
122120, 121eqtrd 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  =  ( ( abs `  x )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
123122oveq2d 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  =  ( E  x.  ( ( abs `  x )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
12455recnd 8857 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  E  e.  CC )
125124, 118, 94mulassd 8854 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( E  x.  ( abs `  x ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( E  x.  ( ( abs `  x
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
126123, 125eqtr4d 2320 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  =  ( ( E  x.  ( abs `  x ) )  x.  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
127117, 126breqtrrd 4051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
12853, 65, 58, 97, 127lelttrd 8970 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
12951, 53, 58, 59, 128lelttrd 8970 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
13050, 129eqbrtrd 4045 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
131130expr 600 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) )
132131ralrimiva 2628 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
133 breq1 4028 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  -> 
( r  <  ( abs `  x )  <->  if (
1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )
134133imbi1d 310 . . . 4  |-  ( r  =  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  -> 
( ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  <-> 
( if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) ) )
135134ralbidv 2565 . . 3  |-  ( r  =  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  -> 
( A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) ) )
136135rspcev 2886 . 2  |-  ( ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  CC  ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) ) ) )
13717, 132, 136syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   E.wrex 2546   ifcif 3567   class class class wbr 4025   -->wf 5218   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   NNcn 9742   NN0cn0 9961   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   RR+crp 10350   ...cfz 10777   ^cexp 11099   abscabs 11714   sum_csu 12153  Polycply 19561  coeffccoe 19563  degcdgr 19564
This theorem is referenced by:  ftalem2  20306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10657  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-sum 12154  df-0p 19020  df-ply 19565  df-coe 19567  df-dgr 19568
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