Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem3 Unicode version

Theorem ftalem3 20328
 Description: Lemma for fta 20333. There exists a global minimum of the function . The proof uses a circle of radius where is the value coming from ftalem1 20326; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 coeff
ftalem.2 deg
ftalem.3 Poly
ftalem.4
ftalem3.5
ftalem3.6 fld
ftalem3.7
ftalem3.8
Assertion
Ref Expression
ftalem3
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4
2 ssrab2 3271 . . . 4
31, 2eqsstri 3221 . . 3
4 ftalem3.6 . . . . . . . 8 fld
54cnfldtopon 18308 . . . . . . 7 TopOn
6 resttopon 16908 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
75, 3, 6mp2an 653 . . . . . 6 t TopOn
87toponunii 16686 . . . . 5 t
9 eqid 2296 . . . . 5
10 cnxmet 18298 . . . . . . . 8
1110a1i 10 . . . . . . 7
12 0cn 8847 . . . . . . . 8
1312a1i 10 . . . . . . 7
14 ftalem3.7 . . . . . . . 8
1514rpxrd 10407 . . . . . . 7
164cnfldtopn 18307 . . . . . . . 8
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14
1817cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . 13
1912, 18mpan 651 . . . . . . . . . . . 12
20 df-neg 9056 . . . . . . . . . . . . . 14
2120fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . 13
22 absneg 11778 . . . . . . . . . . . . 13
2321, 22syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . 12
2419, 23eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11
2524breq1d 4049 . . . . . . . . . 10
2625rabbiia 2791 . . . . . . . . 9
271, 26eqtr4i 2319 . . . . . . . 8
2816, 27blcld 18067 . . . . . . 7
2911, 13, 15, 28syl3anc 1182 . . . . . 6
3014rpred 10406 . . . . . . 7
31 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
3231breq1d 4049 . . . . . . . . . 10
3332, 1elrab2 2938 . . . . . . . . 9
3433simprbi 450 . . . . . . . 8
3534rgen 2621 . . . . . . 7
36 breq2 4043 . . . . . . . . 9
3736ralbidv 2576 . . . . . . . 8
3837rspcev 2897 . . . . . . 7
3930, 35, 38sylancl 643 . . . . . 6
40 eqid 2296 . . . . . . . 8 t t
414, 40cnheibor 18469 . . . . . . 7 t
423, 41ax-mp 8 . . . . . 6 t
4329, 39, 42sylanbrc 645 . . . . 5 t
44 ftalem.3 . . . . . . . . 9 Poly
45 plycn 19658 . . . . . . . . 9 Poly
4644, 45syl 15 . . . . . . . 8
47 abscncf 18421 . . . . . . . . 9
4847a1i 10 . . . . . . . 8
4946, 48cncfco 18427 . . . . . . 7
50 ssid 3210 . . . . . . . 8
51 ax-resscn 8810 . . . . . . . 8
524cnfldtop 18309 . . . . . . . . . . 11
535toponunii 16686 . . . . . . . . . . . 12
5453restid 13354 . . . . . . . . . . 11 t
5552, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 t
5655eqcomi 2300 . . . . . . . . 9 t
574tgioo2 18325 . . . . . . . . 9 t
584, 56, 57cncfcn 18429 . . . . . . . 8
5950, 51, 58mp2an 653 . . . . . . 7
6049, 59syl6eleq 2386 . . . . . 6
6153cnrest 17029 . . . . . 6 t
6260, 3, 61sylancl 643 . . . . 5 t
6314rpge0d 10410 . . . . . . 7
64 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
65 abs0 11786 . . . . . . . . . 10
6664, 65syl6eq 2344 . . . . . . . . 9
6766breq1d 4049 . . . . . . . 8
6867, 1elrab2 2938 . . . . . . 7
6913, 63, 68sylanbrc 645 . . . . . 6
70 ne0i 3474 . . . . . 6
7169, 70syl 15 . . . . 5
728, 9, 43, 62, 71evth2 18474 . . . 4
73 fvres 5558 . . . . . . . . 9
7473ad2antlr 707 . . . . . . . 8
75 plyf 19596 . . . . . . . . . . 11 Poly
7644, 75syl 15 . . . . . . . . . 10
7776ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
78 simplr 731 . . . . . . . . . 10
793, 78sseldi 3191 . . . . . . . . 9
80 fvco3 5612 . . . . . . . . 9
8177, 79, 80syl2anc 642 . . . . . . . 8
8274, 81eqtrd 2328 . . . . . . 7
83 fvres 5558 . . . . . . . . 9
8483adantl 452 . . . . . . . 8
85 simpr 447 . . . . . . . . . 10
863, 85sseldi 3191 . . . . . . . . 9
87 fvco3 5612 . . . . . . . . 9
8877, 86, 87syl2anc 642 . . . . . . . 8
8984, 88eqtrd 2328 . . . . . . 7
9082, 89breq12d 4052 . . . . . 6
9190ralbidva 2572 . . . . 5
9291rexbidva 2573 . . . 4
9372, 92mpbid 201 . . 3
94 ssrexv 3251 . . 3
953, 93, 94mpsyl 59 . 2
9669adantr 451 . . . . . . 7
97 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
9897fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
9998breq2d 4051 . . . . . . . 8
10099rspcv 2893 . . . . . . 7
10196, 100syl 15 . . . . . 6
10276ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
103 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
104102, 12, 103sylancl 643 . . . . . . . . . 10
105104abscld 11934 . . . . . . . . 9
106 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
107 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . 13
108106, 107sylib 188 . . . . . . . . . . . 12
109108simpld 445 . . . . . . . . . . 11
110 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
111102, 109, 110syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
112111abscld 11934 . . . . . . . . 9
113 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11
114113ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
115108simprd 449 . . . . . . . . . . . 12
11633baib 871 . . . . . . . . . . . . 13
117109, 116syl 15 . . . . . . . . . . . 12
118115, 117mtbid 291 . . . . . . . . . . 11
11930ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
120109abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12
121119, 120ltnled 8982 . . . . . . . . . . 11
122118, 121mpbird 223 . . . . . . . . . 10
123 rsp 2616 . . . . . . . . . 10
124114, 109, 122, 123syl3c 57 . . . . . . . . 9
125105, 112, 124ltled 8983 . . . . . . . 8
126 simplr 731 . . . . . . . . . . 11
127 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
128102, 126, 127syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
129128abscld 11934 . . . . . . . . 9
130 letr 8930 . . . . . . . . 9
131129, 105, 112, 130syl3anc 1182 . . . . . . . 8
132125, 131mpan2d 655 . . . . . . 7
133132ralrimdva 2646 . . . . . 6
134101, 133syld 40 . . . . 5
135134ancld 536 . . . 4
136 ralunb 3369 . . . . 5
137 undif2 3543 . . . . . . 7
138 ssequn1 3358 . . . . . . . 8
1393, 138mpbi 199 . . . . . . 7
140137, 139eqtri 2316 . . . . . 6
141140raleqi 2753 . . . . 5
142136, 141bitr3i 242 . . . 4
143135, 142syl6ib 217 . . 3
144143reximdva 2668 . 2
14595, 144mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   cdif 3162   cun 3163   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039   crn 4706   cres 4707   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cneg 9054  cn 9762  crp 10370  cioo 10672  cabs 11735   ↾t crest 13341  ctopn 13342  ctg 13358  cxmt 16385  ℂfldccnfld 16393  ctop 16647  TopOnctopon 16648  ccld 16769   ccn 16970  ccmp 17129  ccncf 18396  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585 This theorem is referenced by:  fta  20333 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
 Copyright terms: Public domain W3C validator