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Theorem ftalem5 20330
Description: Lemma for fta 20333: Main proof. We have already shifted the minimum found in ftalem3 20328 to zero by a change of variables, and now we show that the minimum value is zero. Expanding in a series about the minimum value, let  K be the lowest term in the polynomial that is nonzero, and let  T be a  K-th root of  -u F ( 0 )  /  A
( K ). Then an evaluation of  F ( T X ) where  X is a sufficiently small positive number yields  F ( 0 ) for the first term and 
-u F ( 0 )  x.  X ^ K for the  K-th term, and all higher terms are bounded because  X is small. Thus,  abs ( F ( T X ) )  <_  abs ( F ( 0 ) ) ( 1  -  X ^ K )  <  abs ( F ( 0 ) ), in contradiction to our choice of  F ( 0 ) as the minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem4.5  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
ftalem4.6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
ftalem4.7  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )
ftalem4.8  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
ftalem4.9  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
Assertion
Ref Expression
ftalem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 x ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
Distinct variable groups:    k, n, x, A    k, K, n   
k, N, n, x   
k, F, n, x    ph, k, x    S, k    T, k, x    x, U   
k, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( x, n)    T( n)    U( k, n)    K( x)

Proof of Theorem ftalem5
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . . . . 6  |-  A  =  (coeff `  F )
2 ftalem.2 . . . . . 6  |-  N  =  (deg `  F )
3 ftalem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5 ftalem4.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
6 ftalem4.6 . . . . . 6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
7 ftalem4.7 . . . . . 6  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )
8 ftalem4.8 . . . . . 6  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
9 ftalem4.9 . . . . . 6  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftalem4 20329 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
1110simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) )
1211simp1d 967 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1311simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
1413rpred 10406 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1514recnd 8877 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1612, 15mulcld 8871 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  x.  X
)  e.  CC )
17 plyf 19596 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
183, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
19 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  ( T  x.  X
)  e.  CC )  ->  ( F `  ( T  x.  X
) )  e.  CC )
2018, 16, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  ( T  x.  X )
)  e.  CC )
2120abscld 11934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  e.  RR )
22 0cn 8847 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
23 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
2418, 22, 23sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
2524abscld 11934 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
2610simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  /\  ( A `  K
)  =/=  0 ) )
2726simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
2827nnnn0d 10034 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2914, 28reexpcld 11278 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  e.  RR )
3025, 29remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) )  e.  RR )
3125, 30resubcld 9227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  e.  RR )
32 fzfid 11051 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
33 peano2nn0 10020 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
3428, 33syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
35 elfzuz 10810 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
36 eluznn0 10304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
3734, 35, 36syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
381coef3 19630 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
393, 38syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
40 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
4139, 40sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
4237, 41syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
4316adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T  x.  X )  e.  CC )
4443, 37expcld 11261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
4542, 44mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
4632, 45fsumcl 12222 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  e.  CC )
4746abscld 11934 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  e.  RR )
4831, 47readdcld 8878 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  e.  RR )
49 fzfid 11051 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... K
)  e.  Fin )
50 elfznn0 10838 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  ->  k  e.  NN0 )
5139, 50, 40syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
52 expcl 11137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  x.  X
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( T  x.  X ) ^ k
)  e.  CC )
5316, 50, 52syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
5451, 53mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
5549, 54fsumcl 12222 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  e.  CC )
5655, 46abstrid 11954 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
571, 2coeid2 19637 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( T  x.  X )  e.  CC )  ->  ( F `  ( T  x.  X ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) )
583, 16, 57syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( T  x.  X )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )
5927nnred 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
6059ltp1d 9703 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
61 fzdisj 10833 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  ( K  + 
1 )  ->  (
( 0 ... K
)  i^i  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
6260, 61syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... K )  i^i  (
( K  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
63 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . 12  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  NN
64 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6563, 64sseqtri 3223 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
664nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
672, 1dgreq0 19662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
683, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
69 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0 p
) )
70 dgr0 19659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
7169, 70syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
722, 71syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  =  0 p  ->  N  =  0 )
7368, 72syl6bir 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
7473necon3d 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
7566, 74mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
76 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
7776neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  N  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  N )  =/=  0 ) )
7877elrab 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( A `
 N )  =/=  0 ) )
794, 75, 78sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
80 infmssuzle 10316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  N  e.  { n  e.  NN  | 
( A `  n
)  =/=  0 } )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
8165, 79, 80sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
826, 81syl5eqbr 4072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  N )
83 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8428, 83syl6eleq 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
854nnzd 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
86 elfz5 10806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
8784, 85, 86syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <-> 
K  <_  N )
)
8882, 87mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
89 fzsplit 10832 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... N )  =  ( ( 0 ... K )  u.  (
( K  +  1 ) ... N ) ) )
9088, 89syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... K )  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
91 fzfid 11051 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
92 elfznn0 10838 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
9339, 92, 40syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
9416, 92, 52syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
9593, 94mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
9662, 90, 91, 95fsumsplit 12228 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )
9758, 96eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( T  x.  X )
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )
9897fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
991coefv0 19645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F `  0 )  =  ( A `  0
) )
1003, 99syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
101100eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
10216exp0d 11255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  X ) ^ 0 )  =  1 )
103101, 102oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ` 
0 )  x.  (
( T  x.  X
) ^ 0 ) )  =  ( ( F `  0 )  x.  1 ) )
10424mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  1 )  =  ( F `
 0 ) )
105103, 104eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ` 
0 )  x.  (
( T  x.  X
) ^ 0 ) )  =  ( F `
 0 ) )
106 1e0p1 10168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
107106oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... K )  =  ( ( 0  +  1 ) ... K
)
108107sumeq1i 12187 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... K
) ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )
10927, 64syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
110 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... K )  ->  k  e.  NN )
111110nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... K )  ->  k  e.  NN0 )
11239, 111, 40syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... K
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
11316, 111, 52syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... K
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
114112, 113mulcld 8871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... K
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
115 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( A `  k )  =  ( A `  K ) )
116 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  =  ( ( T  x.  X ) ^ K ) )
117115, 116oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K
) ) )
118109, 114, 117fsumm1 12232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K
) ) ) )
119108, 118syl5eqr 2342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K
) ) ) )
120 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
121120adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
122121nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
12359adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
124 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
126 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
127126adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
128123ltm1d 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  <  K )
129122, 125, 123, 127, 128lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <  K )
130122, 123ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  <  K  <->  -.  K  <_  k ) )
131129, 130mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  K  <_  k )
132 infmssuzle 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  k  e.  { n  e.  NN  | 
( A `  n
)  =/=  0 } )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k
)
1336, 132syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  k  e.  { n  e.  NN  | 
( A `  n
)  =/=  0 } )  ->  K  <_  k )
13465, 133mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  K  <_  k )
135131, 134nsyl 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
136 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
137136neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  k )  =/=  0 ) )
138137elrab3 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( A `  k )  =/=  0
) )
139121, 138syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( A `  k )  =/=  0
) )
140139necon2bbid 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( A `  k
)  =  0  <->  -.  k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ) )
141135, 140mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
142141oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )
143120nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
14416, 143, 52syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
145144mul02d 9026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  0 )
146142, 145eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  0 )
147146sumeq2dv 12192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 0 )
148 fzfi 11050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin
149148olci 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 1 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin )
150 sumz 12211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... ( K  -  1 ) )  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 0  =  0 )
151149, 150ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 0  =  0
152147, 151syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  0 )
15312, 15, 28mulexpd 11276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  X ) ^ K
)  =  ( ( T ^ K )  x.  ( X ^ K ) ) )
154153oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( T  x.  X
) ^ K ) )  =  ( ( A `  K )  x.  ( ( T ^ K )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
155 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A `  K
)  e.  CC )
15639, 28, 155syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e.  CC )
15712, 28expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T ^ K
)  e.  CC )
15829recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  e.  CC )
159156, 157, 158mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 K )  x.  ( T ^ K
) )  x.  ( X ^ K ) )  =  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T ^ K )  x.  ( X ^ K ) ) ) )
160154, 159eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( T  x.  X
) ^ K ) )  =  ( ( ( A `  K
)  x.  ( T ^ K ) )  x.  ( X ^ K ) ) )
1617oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T ^ K )  =  ( ( -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) ) ^ K )
16259recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
16327nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
164162, 163recid2d 9548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  K )  x.  K
)  =  1 )
165164oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( ( 1  /  K )  x.  K ) )  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  1 ) )
16626simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =/=  0 )
16724, 156, 166divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
)  e.  CC )
168167negcld 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) )  e.  CC )
16927nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  RR )
170169recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  CC )
171168, 170, 28cxpmul2d 20072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( ( 1  /  K )  x.  K ) )  =  ( ( -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) ) ^ K ) )
172168cxp1d 20069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  1 )  = 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) ) )
173165, 171, 1723eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) ) ^ K )  = 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) ) )
174161, 173syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( T ^ K
)  =  -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) ) )
175174oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  ( T ^ K ) )  =  ( ( A `
 K )  x.  -u ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
) ) )
176156, 167mulneg2d 9249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) ) )  =  -u (
( A `  K
)  x.  ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) ) ) )
17724, 156, 166divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) ) )  =  ( F `
 0 ) )
178177negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( A `
 K )  x.  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
) )  =  -u ( F `  0 ) )
179175, 176, 1783eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  ( T ^ K ) )  =  -u ( F ` 
0 ) )
180179oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 K )  x.  ( T ^ K
) )  x.  ( X ^ K ) )  =  ( -u ( F `  0 )  x.  ( X ^ K
) ) )
18124, 158mulneg1d 9248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) )  =  -u ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) ) )
182160, 180, 1813eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( T  x.  X
) ^ K ) )  =  -u (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )
183152, 182oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  +  ( ( A `  K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K ) ) )  =  ( 0  + 
-u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
18424, 158mulcld 8871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) )  e.  CC )
185184negcld 9160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) )  e.  CC )
186185addid2d 9029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  -u ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  -u (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )
187119, 183, 1863eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  -u (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )
188105, 187oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 0 )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ 0 ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  =  ( ( F `  0 )  +  -u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
189 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( A `  k )  =  ( A ` 
0 ) )
190 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  =  ( ( T  x.  X ) ^
0 ) )
191189, 190oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( A `
 0 )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ 0 ) ) )
19284, 54, 191fsum1p 12234 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( ( ( A `  0
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ 0 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )
193104oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 0 )  x.  1 )  -  (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( F `  0 )  -  ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
194 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
195194a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
19624, 195, 158subdid 9251 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  (
1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( ( F `  0
)  x.  1 )  -  ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
19724, 184negsubd 9179 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  +  -u ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( F `  0 )  -  ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
198193, 196, 1973eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  (
1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( F `  0 )  +  -u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
199188, 192, 1983eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( ( F `  0 )  x.  ( 1  -  ( X ^ K
) ) ) )
200199fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( ( F ` 
0 )  x.  (
1  -  ( X ^ K ) ) ) ) )
201 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
202 resubcl 9127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( X ^ K )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( X ^ K ) )  e.  RR )
203201, 29, 202sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( X ^ K ) )  e.  RR )
204203recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( X ^ K ) )  e.  CC )
20524, 204absmuld 11952 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( F `  0
)  x.  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( abs `  (
1  -  ( X ^ K ) ) ) ) )
20613rpge0d 10410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
20711simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
208207rpred 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
209 min1 10533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  1
)
210201, 208, 209sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  1
)
2119, 210syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  <_  1 )
212 exple1 11177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( X ^ K
)  <_  1 )
21314, 206, 211, 28, 212syl31anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  <_  1 )
214 subge0 9303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( X ^ K )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( X ^ K ) )  <-> 
( X ^ K
)  <_  1 ) )
215201, 29, 214sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( X ^ K ) )  <-> 
( X ^ K
)  <_  1 ) )
216213, 215mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( X ^ K ) ) )
217203, 216absidd 11921 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( 1  -  ( X ^ K ) ) )
218217oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( abs `  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )
21925recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  CC )
220219, 195, 158subdid 9251 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( 1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  1 )  -  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) ) )
221219mulid1d 8868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  0 )
) )
222221oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  1 )  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) ) )
223218, 220, 2223eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( abs `  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) ) )
224200, 205, 2233eqtrrd 2333 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) ) )
225224oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
22656, 98, 2253brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  <_  ( ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  -  ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
22745abscld 11934 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  e.  RR )
22832, 227fsumrecl 12223 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  e.  RR )
22932, 45fsumabs 12275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) ) )
230 expcl 11137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( T ^ k
)  e.  CC )
23112, 230sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
23237, 231syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
23342, 232mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) )  e.  CC )
234233abscld 11934 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  RR )
23532, 234fsumrecl 12223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  RR )
23614, 34reexpcld 11278 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  e.  RR )
237235, 236remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  e.  RR )
238236adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ ( K  + 
1 ) )  e.  RR )
239234, 238remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  e.  RR )
24012adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  T  e.  CC )
24115adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  X  e.  CC )
242240, 241, 37mulexpd 11276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  =  ( ( T ^ k )  x.  ( X ^ k
) ) )
243242oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T ^
k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
24414adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  X  e.  RR )
245244, 37reexpcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  e.  RR )
246245recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  e.  CC )
24742, 232, 246mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( ( A `  k )  x.  (
( T ^ k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )
248243, 247eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) )  x.  ( X ^ k
) ) )
249248fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  =  ( abs `  (
( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
250233, 246absmuld 11952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ k
) ) ) )
251 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ZZ )
252 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( X ^ k )  e.  RR+ )
25313, 251, 252syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  e.  RR+ )
254253rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( X ^ k
) )
255245, 254absidd 11921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( X ^
k ) )  =  ( X ^ k
) )
256255oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
257249, 250, 2563eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
258233absge0d 11942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
25934adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
26035adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
261206adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  X )
262211adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  X  <_  1 )
263244, 259, 260, 261, 262leexp2rd 11294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  <_ 
( X ^ ( K  +  1 ) ) )
264245, 238, 234, 258, 263lemul2ad 9713 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
265257, 264eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
26632, 227, 239, 265fsumle 12273 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
267236recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  e.  CC )
268234recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  CC )
26932, 267, 268fsummulc1 12263 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
270266, 269breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  x.  ( X ^
( K  +  1 ) ) ) )
27115, 28expp1d 11262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  =  ( ( X ^ K )  x.  X ) )
272158, 15mulcomd 8872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X ^ K )  x.  X
)  =  ( X  x.  ( X ^ K ) ) )
273271, 272eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  =  ( X  x.  ( X ^ K ) ) )
274273oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X  x.  ( X ^ K ) ) ) )
275235recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  CC )
276275, 15, 158mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  x.  ( X ^ K ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X  x.  ( X ^ K ) ) ) )
277274, 276eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  x.  X )  x.  ( X ^ K
) ) )
278235, 14remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  e.  RR )
279 nnssz 10059 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ZZ
28063, 279sstri 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ZZ
281 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
28279, 281syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
283 infmssuzcl 10317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
28465, 282, 283sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
2856, 284syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
286280, 285sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
28713, 286rpexpcld 11284 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  e.  RR+ )
288 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  e.  RR  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 )  e.  RR )
289235, 288syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR )
290289, 14remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  x.  X )  e.  RR )
291235ltp1d 9703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  <  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
292235, 289, 13, 291ltmul1dd 10457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  <  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 )  x.  X ) )
293 min2 10534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  U
)
294201, 208, 293sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  U
)
2959, 294syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
296295, 8syl6breq 4078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( abs `  ( F ` 
0 ) )  / 
( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 ) ) )
297 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
298297a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
29932, 234, 258fsumge0 12269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
300298, 235, 289, 299, 291lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
301 lemuldiv2 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 0 ) )  e.  RR  /\  (
( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  x.  X )  <_ 
( abs `  ( F `  0 )
)  <->  X  <_  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 ) ) ) )
30214, 25, 289, 300, 301syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 )  x.  X )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <->  X  <_  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) ) ) )
303296, 302mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  x.  X )  <_ 
( abs `  ( F `  0 )
) )
304278, 290, 25, 292, 303ltletrd 8992 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
305278, 25, 287, 304ltmul1dd 10457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  x.  ( X ^ K ) )  < 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )
306277, 305eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  ( X ^ K ) ) )
307228, 237, 30, 270, 306lelttrd 8990 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )
30847, 228, 30, 229, 307lelttrd 8990 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )
30947, 30, 25, 308ltsub2dd 9401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
31031, 47, 25ltaddsubd 9388 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  -  ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  < 
( abs `  ( F `  0 )
)  <->  ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  -  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) ) ) ) )
311309, 310mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  < 
( abs `  ( F `  0 )
) )
31221, 48, 25, 226, 311lelttrd 8990 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
313 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( x  =  ( T  x.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( T  x.  X
) ) )
314313fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( x  =  ( T  x.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) ) )
315314breq1d 4049 . . 3  |-  ( x  =  ( T  x.  X )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <  ( abs `  ( F `  0
) )  <->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X )
) )  <  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
316315rspcev 2897 . 2  |-  ( ( ( T  x.  X
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( F `
 ( T  x.  X ) ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )  ->  E. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  x )
)  <  ( abs `  ( F `  0
) ) )
31716, 312, 316syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 x ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798   ^cexp 11120   abscabs 11735   sum_csu 12174   0 pc0p 19040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585    ^ c ccxp 19929
This theorem is referenced by:  ftalem6  20331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589  df-log 19930  df-cxp 19931
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