MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1 19928
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function formed by varying the right endpoint of an integral is differentiable at  C with derivative  F ( C ) if the original function is continuous at  C. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ftc1  |-  ( ph  ->  C ( RR  _D  G ) ( F `
 C ) )
Distinct variable groups:    x, t, C    t, D, x    t, A, x    t, B, x    ph, t, x    t, F, x    x, L
Allowed substitution hints:    G( x, t)    J( x, t)    K( x, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( Lt  RR )
2 ftc1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
32tgioo2 18836 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Lt  RR )
41, 3eqtr4i 2461 . . . . . 6  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
5 retop 18797 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
64, 5eqeltri 2508 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 ftc1.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 iccssre 10994 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
118, 9, 10syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
12 iooretop 18802 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1312, 4eleqtrri 2511 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  e.  J
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  J )
15 ioossicc 10998 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
17 uniretop 18798 . . . . . 6  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
184unieqi 4027 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1917, 18eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  RR  =  U. J
2019ssntr 17124 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  RR )  /\  ( ( A (,) B )  e.  J  /\  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( int `  J
) `  ( A [,] B ) ) )
217, 11, 14, 16, 20syl22anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( int `  J ) `  ( A [,] B ) ) )
22 ftc1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
2321, 22sseldd 3351 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  J ) `
 ( A [,] B ) ) )
24 ftc1.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
25 ftc1.le . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
26 ftc1.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
27 ftc1.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
28 ftc1.i . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
29 ftc1.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
30 ftc1.k . . 3  |-  K  =  ( Lt  D )
31 eqid 2438 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
3224, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2, 31ftc1lem6 19927 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
33 ax-resscn 9049 . . . 4  |-  RR  C_  CC
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3524, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2ftc1lem3 19924 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
3624, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 35ftc1lem2 19922 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
371, 2, 31, 34, 36, 11eldv 19787 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( RR 
_D  G ) ( F `  C )  <-> 
( C  e.  ( ( int `  J
) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `  C )  e.  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) ) )
3823, 32, 37mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  C ( RR  _D  G ) ( F `
 C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   (,)cioo 10918   [,]cicc 10921   ↾t crest 13650   TopOpenctopn 13651   topGenctg 13667  ℂfldccnfld 16705   Topctop 16960   intcnt 17083    CnP ccnp 17291   L ^1cibl 19511   S.citg 19512   lim CC climc 19751    _D cdv 19752
This theorem is referenced by:  ftc1cn  19929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-ntr 17086  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514  df-itg1 19515  df-itg2 19516  df-ibl 19517  df-itg 19518  df-0p 19564  df-limc 19755  df-dv 19756
  Copyright terms: Public domain W3C validator