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Theorem ftc1a 19921
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function  G formed by varying the right endpoint of an integral of  F is continuous if  F is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1a  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    ph, t, x   
t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1a
Dummy variables  s  u  w  y  z 
r  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1.le . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1.i . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
8 ftc1a.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1lem2 19920 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
10 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  w  e.  D )  ->  ( F `  w )  e.  _V )
128feqmptd 5779 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( w  e.  D  |->  ( F `
 w ) ) )
1312, 7eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  D  |->  ( F `  w
) )  e.  L ^1 )
1413adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( w  e.  D  |->  ( F `
 w ) )  e.  L ^1 )
15 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1611, 14, 15itgcn 19734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  D  /\  ( vol `  u )  < 
d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )
17 oveq12 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( s  -  r
)  =  ( z  -  y ) )
1817fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( abs `  (
s  -  r ) )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
1918breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( abs `  (
s  -  r ) )  <  d  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )
20 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
21 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  y  ->  ( G `  r )  =  ( G `  y ) )
2220, 21oveqan12d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( G `  s )  -  ( G `  r )
)  =  ( ( G `  z )  -  ( G `  y ) ) )
2322fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  z )  -  ( G `  y )
) ) )
2423breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  ( G `  y )
) )  <  e
) )
2519, 24imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
2625ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  y  /\  s  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
27 oveq12 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( s  -  r
)  =  ( y  -  z ) )
2827fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( abs `  (
s  -  r ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
2928breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( abs `  (
s  -  r ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  d
) )
30 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  y  ->  ( G `  s )  =  ( G `  y ) )
31 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  z  ->  ( G `  r )  =  ( G `  z ) )
3230, 31oveqan12d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( G `  s )  -  ( G `  r )
)  =  ( ( G `  y )  -  ( G `  z ) ) )
3332fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) ) )
3433breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) )  <  e
) )
3529, 34imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
3635ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  z  /\  s  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
37 iccssre 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
382, 3, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
4038ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
41 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
4240, 41sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  RR )
4342recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  CC )
44 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
4540, 44sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  RR )
4645recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  CC )
4743, 46abssubd 12255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
4847breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  d
) )
499ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
5049, 41ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
5149, 44ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
5250, 51abssubd 12255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z ) ) ) )
5352breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) )  <  e
) )
5448, 53imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
55 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  y  <_  z )
562adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  A  e.  RR )
573adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  B  e.  RR )
584adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  A  <_  B )
595adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
606adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  D  C_  RR )
617adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  F  e.  L ^1 )
628adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  F : D --> CC )
63 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
64 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
651, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64ftc1lem1 19919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  z )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  y )
)  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t
)  _d t )
6655, 65mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6766adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6867ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6968fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  =  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t
)  _d t ) )
70 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
722ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  e.  RR )
7372rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  e.  RR* )
74 simprl1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
753ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  B  e.  RR )
76 elicc2 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
7772, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
7874, 77mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
7978simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  <_  y )
80 iooss1 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  y )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
8173, 79, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
8275rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  B  e.  RR* )
83 simprl2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
84 elicc2 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( A [,] B )  <-> 
( z  e.  RR  /\  A  <_  z  /\  z  <_  B ) ) )
8572, 75, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  e.  ( A [,] B )  <->  ( z  e.  RR  /\  A  <_ 
z  /\  z  <_  B ) ) )
8683, 85mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  A  <_  z  /\  z  <_  B ) )
8786simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  <_  B )
88 iooss2 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
8982, 87, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
9081, 89sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) B ) )
915ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
9290, 91sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  D )
93 ioombl 19459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y (,) z )  e. 
dom  vol
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z )  e.  dom  vol )
9570a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
968feqmptd 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
9796, 7eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
9897ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  D  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
9992, 94, 95, 98iblss 19696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
10071, 99itgcl 19675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( F `  t )  _d t  e.  CC )
101100abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  e.  RR )
102 iblmbf 19659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 
->  ( t  e.  ( y (,) z ) 
|->  ( F `  t
) )  e. MblFn )
10399, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e. MblFn )
104103, 71mbfmptcl 19529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
105104abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR )
10671, 99iblabs 19720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) )  e.  L ^1 )
107105, 106itgrecl 19689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  e.  RR )
108 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR+ )
109108ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  e  e.  RR+ )
110109rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  e  e.  RR )
11171, 99itgabs 19726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  <_  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t )
112 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )
113 mblvol 19426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y (,) z )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( y (,) z ) )  =  ( vol * `  ( y (,) z
) ) )
11493, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( vol `  ( y (,) z
) )  =  ( vol * `  (
y (,) z ) )
115 ioossre 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y (,) z )  C_  RR
116 ovolcl 19374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y (,) z ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( y (,) z ) )  e. 
RR* )
117115, 116mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y (,) z ) )  e.  RR* )
11886simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  e.  RR )
11978simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  e.  RR )
120118, 119resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  e.  RR )
121120rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  e.  RR* )
122 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  d  e.  RR+ )
123122ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  d  e.  RR+ )
124123rpxrd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  d  e.  RR* )
125 ioossicc 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y (,) z )  C_  ( y [,] z
)
126 iccssre 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y [,] z
)  C_  RR )
127119, 118, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y [,] z ) 
C_  RR )
128 ovolss 19381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y (,) z
)  C_  ( y [,] z )  /\  (
y [,] z ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( y (,) z
) )  <_  ( vol * `  ( y [,] z ) ) )
129125, 127, 128sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y (,) z ) )  <_  ( vol * `  ( y [,] z
) ) )
130 simprl3 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  <_  z )
131 ovolicc 19419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( vol * `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
132119, 118, 130, 131syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
133129, 132breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y (,) z ) )  <_  ( z  -  y ) )
134119, 118, 130abssubge0d 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( z  -  y
) )
135 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
d )
136134, 135eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  <  d )
137117, 121, 124, 133, 136xrlelttrd 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y (,) z ) )  <  d )
138114, 137syl5eqbr 4245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol `  ( y (,) z ) )  < 
d )
13992, 138jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d ) )
140 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
u  C_  D  <->  ( y (,) z )  C_  D
) )
141 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  ( vol `  u )  =  ( vol `  (
y (,) z ) ) )
142141breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( vol `  u
)  <  d  <->  ( vol `  ( y (,) z
) )  <  d
) )
143140, 142anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  <->  ( ( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d ) ) )
144 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  t  ->  ( F `  w )  =  ( F `  t ) )
145144fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  t  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
146145cbvitgv 19668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S. u
( abs `  ( F `  w )
)  _d w  =  S. u ( abs `  ( F `  t
) )  _d t
147 itgeq1 19664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  S. u ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  =  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t )
148146, 147syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  =  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t )
149148breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  ( S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e  <->  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t  <  e ) )
150143, 149imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  <->  ( (
( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  < 
e ) ) )
151150rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y (,) z )  e.  dom  vol  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  -> 
( ( ( y (,) z )  C_  D  /\  ( vol `  (
y (,) z ) )  <  d )  ->  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `
 t ) )  _d t  <  e
) ) )
15294, 112, 139, 151syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  < 
e )
153101, 107, 110, 111, 152lelttrd 9228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  < 
e )
15469, 153eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
)
155154expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
15626, 36, 39, 54, 155wlogle 9560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
157156ralrimivva 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
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 y ) ) )  <  e ) )
158157ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
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) )  _d w  <  e )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  ( z  -  y ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
) ) )
159158anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  ( z  -  y ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
) ) )
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)  _d w  < 
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) -cn-> CC )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
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( G `  z
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-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   abscabs 12039   -cn->ccncf 18906   vol *covol 19359   volcvol 19360  MblFncmbf 19506   L ^1cibl 19509   S.citg 19510
This theorem is referenced by:  ftc2  19928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562
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