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Theorem ftc1a 19332
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function  G formed by varying the right endpoint of an integral of  F is continuous if  F is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1a  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    ph, t, x   
t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1a
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1.le . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1.i . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
8 ftc1a.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1lem2 19331 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
10 fvex 5458 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
1110a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  w  e.  D )  ->  ( F `  w )  e.  _V )
128feqmptd 5495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( w  e.  D  |->  ( F `
 w ) ) )
1312, 7eqeltrrd 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  D  |->  ( F `  w
) )  e.  L ^1 )
1413adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( w  e.  D  |->  ( F `
 w ) )  e.  L ^1 )
15 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1611, 14, 15itgcn 19145 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  D  /\  ( vol `  u )  < 
d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )
17 oveq12 5787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( s  -  r
)  =  ( z  -  y ) )
1817fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( abs `  (
s  -  r ) )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
1918breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( abs `  (
s  -  r ) )  <  d  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )
20 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
21 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  y  ->  ( G `  r )  =  ( G `  y ) )
2220, 21oveqan12d 5797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( G `  s )  -  ( G `  r )
)  =  ( ( G `  z )  -  ( G `  y ) ) )
2322fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  z )  -  ( G `  y )
) ) )
2423breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  ( G `  y )
) )  <  e
) )
2519, 24imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
2625ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  y  /\  s  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
27 oveq12 5787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( s  -  r
)  =  ( y  -  z ) )
2827fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( abs `  (
s  -  r ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
2928breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( abs `  (
s  -  r ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  d
) )
30 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  y  ->  ( G `  s )  =  ( G `  y ) )
31 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  z  ->  ( G `  r )  =  ( G `  z ) )
3230, 31oveqan12d 5797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( G `  s )  -  ( G `  r )
)  =  ( ( G `  y )  -  ( G `  z ) ) )
3332fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) ) )
3433breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) )  <  e
) )
3529, 34imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
3635ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  z  /\  s  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
37 iccssre 10683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
382, 3, 37syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
3938ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
4038ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
41 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
4240, 41sseldd 3142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  RR )
4342recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  CC )
44 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
4540, 44sseldd 3142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  RR )
4645recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  CC )
4743, 46abssubd 11886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
4847breq1d 3993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  d
) )
499ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
50 ffvelrn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : ( A [,] B ) --> CC 
/\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
5149, 41, 50syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
52 ffvelrn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : ( A [,] B ) --> CC 
/\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
5349, 44, 52syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
5451, 53abssubd 11886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z ) ) ) )
5554breq1d 3993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) )  <  e
) )
5648, 55imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
57 simpr3 968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  y  <_  z )
582adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  A  e.  RR )
593adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  B  e.  RR )
604adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  A  <_  B )
615adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
626adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  D  C_  RR )
637adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  F  e.  L ^1 )
648adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  F : D --> CC )
65 simpr1 966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
66 simpr2 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
671, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66ftc1lem1 19330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  z )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  y )
)  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t
)  _d t )
6857, 67mpdan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6968adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
7069ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
7170fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  =  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t
)  _d t ) )
72 fvex 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
7372a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
742ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  e.  RR )
7574rexrd 8835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  e.  RR* )
76 simprl1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
773ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  B  e.  RR )
78 elicc2 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
7974, 77, 78syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
8076, 79mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
8180simp2d 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  <_  y )
82 iooss1 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  y )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
8375, 81, 82syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
8477rexrd 8835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  B  e.  RR* )
85 simprl2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
86 elicc2 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( A [,] B )  <-> 
( z  e.  RR  /\  A  <_  z  /\  z  <_  B ) ) )
8774, 77, 86syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  e.  ( A [,] B )  <->  ( z  e.  RR  /\  A  <_ 
z  /\  z  <_  B ) ) )
8885, 87mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  A  <_  z  /\  z  <_  B ) )
8988simp3d 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  <_  B )
90 iooss2 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
9184, 89, 90syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
9283, 91sstrd 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) B ) )
935ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
9492, 93sstrd 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  D )
95 ioombl 18870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y (,) z )  e. 
dom  vol
9695a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z )  e.  dom  vol )
9772a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
988feqmptd 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
9998, 7eqeltrrd 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
10099ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  D  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
10194, 96, 97, 100iblss 19107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
10273, 101itgcl 19086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( F `  t )  _d t  e.  CC )
103102abscld 11869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  e.  RR )
104 iblmbf 19070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 
->  ( t  e.  ( y (,) z ) 
|->  ( F `  t
) )  e. MblFn )
105101, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e. MblFn )
106105, 73mbfmptcl 18940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
107106abscld 11869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR )
10873, 101iblabs 19131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) )  e.  L ^1 )
109107, 108itgrecl 19100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  e.  RR )
110 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR+ )
111110ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  e  e.  RR+ )
112111rpred 10343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  e  e.  RR )
11373, 101itgabs 19137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  <_  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t )
114 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )
115 mblvol 18837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y (,) z )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( y (,) z ) )  =  ( vol * `  ( y (,) z
) ) )
11695, 115ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( vol `  ( y (,) z
) )  =  ( vol * `  (
y (,) z ) )
117 ioossre 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y (,) z )  C_  RR
118 ovolcl 18785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y (,) z ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( y (,) z ) )  e. 
RR* )
119117, 118mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y (,) z ) )  e.  RR* )
12088simp1d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  e.  RR )
12180simp1d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  e.  RR )
122120, 121resubcld 9165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  e.  RR )
123122rexrd 8835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  e.  RR* )
124 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  d  e.  RR+ )
125124ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  d  e.  RR+ )
126125rpxrd 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  d  e.  RR* )
127 ioossicc 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y (,) z )  C_  ( y [,] z
)
128 iccssre 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y [,] z
)  C_  RR )
129121, 120, 128syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y [,] z ) 
C_  RR )
130 ovolss 18792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y (,) z
)  C_  ( y [,] z )  /\  (
y [,] z ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( y (,) z
) )  <_  ( vol * `  ( y [,] z ) ) )
131127, 129, 130sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y (,) z ) )  <_  ( vol * `  ( y [,] z
) ) )
132 simprl3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  <_  z )
133 ovolicc 18830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( vol * `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
134121, 120, 132, 133syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
135131, 134breqtrd 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y (,) z ) )  <_  ( z  -  y ) )
136121, 120, 132abssubge0d 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( z  -  y
) )
137 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
d )
138136, 137eqbrtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  <  d )
139119, 123, 126, 135, 138xrlelttrd 10444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol * `  ( y (,) z ) )  <  d )
140116, 139syl5eqbr 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol `  ( y (,) z ) )  < 
d )
14194, 140jca 520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d ) )
142 sseq1 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
u  C_  D  <->  ( y (,) z )  C_  D
) )
143 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  ( vol `  u )  =  ( vol `  (
y (,) z ) ) )
144143breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( vol `  u
)  <  d  <->  ( vol `  ( y (,) z
) )  <  d
) )
145142, 144anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  <->  ( ( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d ) ) )
146 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  t  ->  ( F `  w )  =  ( F `  t ) )
147146fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  t  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
148147cbvitgv 19079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S. u
( abs `  ( F `  w )
)  _d w  =  S. u ( abs `  ( F `  t
) )  _d t
149 itgeq1 19075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  S. u ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  =  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t )
150148, 149syl5eq 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  =  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t )
151150breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  ( S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e  <->  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t  <  e ) )
152145, 151imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  <->  ( (
( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  < 
e ) ) )
153152rcla4v 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y (,) z )  e.  dom  vol  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  -> 
( ( ( y (,) z )  C_  D  /\  ( vol `  (
y (,) z ) )  <  d )  ->  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `
 t ) )  _d t  <  e
) ) )
15496, 114, 141, 153syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  < 
e )
155103, 109, 112, 113, 154lelttrd 8928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  < 
e )
15671, 155eqbrtrd 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
)
157156expr 601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
15826, 36, 39, 56, 157wlogle 9260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
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)  _d w  < 
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( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
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159158ralrimivva 2608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
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 y ) ) )  <  e ) )
160159ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
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) )  _d w  <  e )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  ( z  -  y ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( G `
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) ) )
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) ) )
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) -cn-> CC )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
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-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   dom cdm 4647   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   RRcr 8690   RR*cxr 8820    < clt 8821    <_ cle 8822    - cmin 8991   RR+crp 10307   (,)cioo 10608   [,]cicc 10611   abscabs 11670   -cn->ccncf 18328   vol *covol 18770   volcvol 18771  MblFncmbf 18917   L ^1cibl 18920   S.citg 18921
This theorem is referenced by:  ftc2  19339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cc 8015  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-disj 3954  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-ofr 5999  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-cmp 17062  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-ovol 18772  df-vol 18773  df-mbf 18923  df-itg1 18924  df-itg2 18925  df-ibl 18926  df-itg 18927  df-0p 18973
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