Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem1 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1anclem1 26322
Description: Lemma for ftc1anc 26330- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 19586, but this proof avoids ax-cc 8353. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 5904 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
21recnd 9152 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
3 id 21 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> RR )
43feqmptd 5815 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) )
5 absf 12179 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  abs
: CC --> RR )
76feqmptd 5815 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x
) ) )
8 fveq2 5763 . . . 4  |-  ( x  =  ( F `  t )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
92, 4, 7, 8fmptco 5937 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( abs  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) )
109adantr 453 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) )
112abscld 12276 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  RR )
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) )
1311, 12fmptd 5929 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
1413adantr 453 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
15 fdm 5630 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
1615adantr 453 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  dom 
F  =  A )
17 mbfdm 19556 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1817adantl 454 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  dom 
F  e.  dom  vol )
1916, 18eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  A  e.  dom  vol )
20 rexr 9168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
21 elioopnf 11036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  x  < 
( abs `  ( F `  t )
) ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( x (,)  +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  x  < 
( abs `  ( F `  t )
) ) ) )
2311biantrurd 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  x  < 
( abs `  ( F `  t )
) ) ) )
2423bicomd 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) )  <->  x  <  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) )
2522, 24sylan9bbr 683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) 
+oo )  <->  x  <  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) )
26 ltnle 9193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  RR )  -> 
( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  x ) )
2726ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  t )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  x ) )
2811, 27sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t )
)  <->  -.  ( abs `  ( F `  t
) )  <_  x
) )
29 absle 12157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  x
) ) )
301, 29sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <_  x  <->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  x
) ) )
31 renegcl 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
32 lenlt 9192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u x  e.  RR  /\  ( F `  t
)  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  <->  -.  ( F `  t )  <  -u x
) )
3331, 1, 32syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t )  <->  -.  ( F `  t )  <  -u x ) )
341biantrurd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( F `  t )  <  -u x  <->  ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  t )  <  -u x ) ) )
3531rexrd 9172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR* )
36 elioomnf 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u x  e.  RR*  ->  (
( F `  t
)  e.  (  -oo (,) -u x )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `
 t )  <  -u x ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  t
)  e.  (  -oo (,) -u x )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `
 t )  <  -u x ) ) )
3837bicomd 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  t
)  <  -u x )  <-> 
( F `  t
)  e.  (  -oo (,) -u x ) ) )
3934, 38sylan9bb 682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <  -u x  <->  ( F `  t )  e.  ( 
-oo (,) -u x ) ) )
4039notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( F `  t
)  <  -u x  <->  -.  ( F `  t )  e.  (  -oo (,) -u x
) ) )
4133, 40bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t )  <->  -.  ( F `  t )  e.  (  -oo (,) -u x
) ) )
42 lenlt 9192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  x  <  ( F `
 t ) ) )
431, 42sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  x  <  ( F `  t
) ) )
441biantrurd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( x  <  ( F `  t )  <->  ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  <  ( F `  t ) ) ) )
45 elioopnf 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( F `  t )  e.  ( x (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  x  < 
( F `  t
) ) ) )
4620, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  t
)  e.  ( x (,)  +oo )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  x  < 
( F `  t
) ) ) )
4746bicomd 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  x  <  ( F `
 t ) )  <-> 
( F `  t
)  e.  ( x (,)  +oo ) ) )
4844, 47sylan9bb 682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( F `  t )  <->  ( F `  t )  e.  ( x (,)  +oo )
) )
4948notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <  ( F `
 t )  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,)  +oo ) ) )
5043, 49bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,)  +oo ) ) )
5141, 50anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( (
-u x  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  x )  <->  ( -.  ( F `  t )  e.  ( 
-oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t
)  e.  ( x (,)  +oo ) ) ) )
5230, 51bitrd 246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <_  x  <->  ( -.  ( F `  t )  e.  (  -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) 
+oo ) ) ) )
5352notbid 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  -.  ( -.  ( F `  t
)  e.  (  -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) 
+oo ) ) ) )
54 elun 3477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  t )  e.  ( (  -oo (,) -u x )  u.  (
x (,)  +oo ) )  <-> 
( ( F `  t )  e.  ( 
-oo (,) -u x )  \/  ( F `  t
)  e.  ( x (,)  +oo ) ) )
55 oran 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  (  -oo (,) -u x )  \/  ( F `  t )  e.  ( x (,)  +oo ) )  <->  -.  ( -.  ( F `  t
)  e.  (  -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) 
+oo ) ) )
5654, 55bitri 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  t )  e.  ( (  -oo (,) -u x )  u.  (
x (,)  +oo ) )  <->  -.  ( -.  ( F `
 t )  e.  (  -oo (,) -u x
)  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,)  +oo ) ) )
5753, 56syl6bbr 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  ( F `  t )  e.  ( (  -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,)  +oo ) ) ) )
5825, 28, 573bitrd 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) 
+oo )  <->  ( F `  t )  e.  ( (  -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,)  +oo ) ) ) )
5958an32s 781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  /\  t  e.  A
)  ->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  ( x (,)  +oo ) 
<->  ( F `  t
)  e.  ( ( 
-oo (,) -u x )  u.  ( x (,)  +oo ) ) ) )
6059rabbidva 2956 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( x (,)  +oo ) }  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  ( (  -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,)  +oo ) ) } )
6112mptpreima 5398 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) " (
x (,)  +oo ) )  =  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t
) )  e.  ( x (,)  +oo ) }
62 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) )
6362mptpreima 5398 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " (
(  -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,)  +oo ) ) )  =  { t  e.  A  |  ( F `
 t )  e.  ( (  -oo (,) -u x )  u.  (
x (,)  +oo ) ) }
6460, 61, 633eqtr4g 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,)  +oo ) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( (  -oo (,) -u x )  u.  (
x (,)  +oo ) ) ) )
65 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  F : A --> RR )
6665feqmptd 5815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) ) )
6766cnveqd 5083 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  `' F  =  `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) )
6867imaeq1d 5237 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F "
( (  -oo (,) -u x )  u.  (
x (,)  +oo ) ) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " (
(  -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,)  +oo ) ) ) )
6964, 68eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,)  +oo ) )  =  ( `' F " ( ( 
-oo (,) -u x )  u.  ( x (,)  +oo ) ) ) )
70 imaundi 5319 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( ( 
-oo (,) -u x )  u.  ( x (,)  +oo ) ) )  =  ( ( `' F " (  -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,)  +oo ) ) )
7169, 70syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,)  +oo ) )  =  ( ( `' F "
(  -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,)  +oo ) ) ) )
7271adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( x (,)  +oo ) )  =  ( ( `' F " (  -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,)  +oo ) ) ) )
73 mbfima 19560 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) -u x ) )  e. 
dom  vol )
74 mbfima 19560 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
75 unmbl 19470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
(  -oo (,) -u x
) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " (  -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F "
( x (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7673, 74, 75syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  (
( `' F "
(  -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7776ancoms 441 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( ( `' F "
(  -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7877adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( `' F " (  -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F "
( x (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7972, 78eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
80 abslt 12156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <  x  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
811, 80sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <  x  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
82 elioomnf 11037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  (  -oo (,) x )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8320, 82syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  e.  (  -oo (,) x )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8411biantrurd 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <  x  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8584bicomd 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t )
)  <  x )  <->  ( abs `  ( F `
 t ) )  <  x ) )
8683, 85sylan9bbr 683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  (  -oo (,) x )  <->  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) )
8735, 20jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u x  e.  RR*  /\  x  e.  RR* ) )
881rexrd 9172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  RR* )
89 elioo5 11006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u x  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( F `  t )  e.  RR* )  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
90893expa 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -u x  e. 
RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  ( F `
 t )  e. 
RR* )  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
9187, 88, 90syl2anr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
9281, 86, 913bitr4d 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  (  -oo (,) x )  <->  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) ) )
9392an32s 781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  /\  t  e.  A
)  ->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  (  -oo (,) x
)  <->  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) ) )
9493rabbidva 2956 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  (  -oo (,) x ) }  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) } )
9512mptpreima 5398 . . . . . . 7  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) " (  -oo (,) x ) )  =  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t
) )  e.  ( 
-oo (,) x ) }
9662mptpreima 5398 . . . . . . 7  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " ( -u x (,) x ) )  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  ( -u x (,) x ) }
9794, 95, 963eqtr4g 2500 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
(  -oo (,) x ) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " ( -u x (,) x ) ) )
9867imaeq1d 5237 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F "
( -u x (,) x
) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( -u x (,) x
) ) )
9997, 98eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
(  -oo (,) x ) )  =  ( `' F " ( -u x (,) x ) ) )
10099adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " (  -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
( -u x (,) x
) ) )
101 mbfima 19560 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e.  dom  vol )
102101ancoms 441 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e.  dom  vol )
103102adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e. 
dom  vol )
104100, 103eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
10514, 19, 79, 104ismbf2d 19569 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn )
10610, 105eqeltrd 2517 1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728   {crab 2716    u. cun 3307   class class class wbr 4243    e. cmpt 4297   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   "cima 4916    o. ccom 4917   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   CCcc 9026   RRcr 9027    +oocpnf 9155    -oocmnf 9156   RR*cxr 9157    < clt 9158    <_ cle 9159   -ucneg 9330   (,)cioo 10954   abscabs 12077   volcvol 19398  MblFncmbf 19544
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  26323  ftc1anclem4  26325  ftc1anclem5  26326  ftc1anclem6  26327  ftc1anclem8  26329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-cda 8086  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xadd 10749  df-ioo 10958  df-ico 10960  df-icc 10961  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-fl 11240  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-sum 12518  df-xmet 16733  df-met 16734  df-ovol 19399  df-vol 19400  df-mbf 19549
  Copyright terms: Public domain W3C validator