MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1cn Structured version   Unicode version

Theorem ftc1cn 19927
Description: Strengthen the assumptions of ftc1 19926 to when the function  F is continuous on the entire interval  ( A ,  B ); in this case we can calculate  _D  G exactly. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cn.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cn.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cn.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cn.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
ftc1cn  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Distinct variable groups:    x, t, A    t, B, x    t, F, x    ph, t, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1cn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 19794 . . . . 5  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC )
3 ffun 5593 . . . 4  |-  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR 
_D  G ) --> CC 
->  Fun  ( RR  _D  G ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( RR  _D  G ) )
5 ax-resscn 9047 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 ftc1cn.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
8 ftc1cn.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1cn.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 ftc1cn.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
11 ssid 3367 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
13 ioossre 10972 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
15 ftc1cn.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
16 ftc1cn.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
17 cncff 18923 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 19920 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
20 iccssre 10992 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
218, 9, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
22 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322tgioo2 18834 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 19787 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )
25 iccntr 18852 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
268, 9, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
2724, 26sseqtrd 3384 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  ( A (,) B ) )
288adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
299adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
3010adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <_  B )
3111a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
3213a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
3315adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  L ^1 )
34 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A (,) B ) )
3513, 5sstri 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  CC
36 ssid 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
37 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
3822cnfldtop 18818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
3922cnfldtopon 18817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4039toponunii 16997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4140restid 13661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
4238, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
4342eqcomi 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
4422, 37, 43cncfcn 18939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4535, 36, 44mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
4616, 45syl6eleq 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4746adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4835a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
49 resttopon 17225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
5039, 48, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) ) )
51 toponuni 16992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )  -> 
( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
5352eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B )  <-> 
y  e.  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) ) )
5453biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
55 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
5655cncnpi 17342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  y  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
5747, 54, 56syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
587, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 57, 23, 37, 22ftc1 19926 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y ( RR  _D  G ) ( F `  y ) )
59 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
60 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
6159, 60breldm 5074 . . . . . . 7  |-  ( y ( RR  _D  G
) ( F `  y )  ->  y  e.  dom  ( RR  _D  G ) )
6258, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
6362ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  e.  dom  ( RR  _D  G
) ) )
6463ssrdv 3354 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
6527, 64eqssd 3365 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
66 df-fn 5457 . . 3  |-  ( ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B )  <->  ( Fun  ( RR  _D  G
)  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) ) )
674, 65, 66sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
68 ffn 5591 . . 3  |-  ( F : ( A (,) B ) --> CC  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
6918, 68syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
704adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  Fun  ( RR 
_D  G ) )
71 funbrfv 5765 . . 3  |-  ( Fun  ( RR  _D  G
)  ->  ( y
( RR  _D  G
) ( F `  y )  ->  (
( RR  _D  G
) `  y )  =  ( F `  y ) ) )
7270, 58, 71sylc 58 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  y )  =  ( F `  y ) )
7367, 69, 72eqfnfvd 5830 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989    <_ cle 9121   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649   topGenctg 13665  ℂfldccnfld 16703   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   intcnt 17081    Cn ccn 17288    CnP ccnp 17289   -cn->ccncf 18906   L ^1cibl 19509   S.citg 19510    _D cdv 19750
This theorem is referenced by:  ftc2  19928  itgsubstlem  19932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562  df-limc 19753  df-dv 19754
  Copyright terms: Public domain W3C validator