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Theorem ftc1lem4 19490
Description: Lemma for ftc1 19493. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
ftc1.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
ftc1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftc1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftc1.fc  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) )
ftc1.x1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1.x2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  C )
)  <  R )
ftc1.y1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
ftc1.y2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  C )
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  <  E
)
Distinct variable groups:    x, t,
y, z, C    t, D, x, y, z    y, G, z    t, A, x, y, z    t, B, x, y, z    t, X, x, z    t, E, y    y, H    ph, t, x, y, z    t, Y, x    t, F, x, y, z    x, L, y, z    y, R
Allowed substitution hints:    R( x, z, t)    E( x, z)    G( x, t)    H( x, z, t)    J( x, y, z, t)    K( x, y, z, t)    L( t)    X( y)    Y( y, z)

Proof of Theorem ftc1lem4
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ftc1.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 iccssre 10823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5 ftc1.x1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
64, 5sseldd 3257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
7 ftc1.y1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
84, 7sseldd 3257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
9 ltle 9000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
106, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
1110imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <_  Y )
12 ftc1.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
13 ftc1.le . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 ftc1.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
15 ftc1.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
16 ftc1.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
17 ftc1.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
18 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
19 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( Lt  RR )
20 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Lt  D )
21 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
2212, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21ftc1lem3 19489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
2312, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 22, 5, 7ftc1lem1 19486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
2411, 23syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
251rexrd 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
26 elicc2 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
271, 2, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
285, 27mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) )
2928simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
30 iooss1 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  X )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) Y ) )
3125, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) Y ) )
322rexrd 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
33 elicc2 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
341, 2, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
357, 34mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) )
3635simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
37 iooss2 10784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  Y  <_  B )  ->  ( A (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3832, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
3931, 38sstrd 3265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
4039, 14sstrd 3265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  D )
4140sselda 3256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  D )
42 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : D --> CC  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
4322, 42sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4441, 43syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4514, 17sseldd 3257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
46 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : D --> CC  /\  C  e.  D )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4722, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
4944, 48npcand 9251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( F `  C ) )  =  ( F `  t
) )
5049itgeq2dv 19240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( F `  C ) )  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
5144, 48subcld 9247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  e.  CC )
52 ioombl 19026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
5352a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
54 fvex 5622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
5554a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5622feqmptd 5658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
5756, 16eqeltrrd 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
5840, 53, 55, 57iblss 19263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
59 fconstmpt 4814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { ( F `
 C ) } )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 C ) )
60 mblvol 18993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  =  ( vol * `  ( X (,) Y
) ) )
6152, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( vol * `  ( X (,) Y ) )
62 ioossicc 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
64 iccmbl 19027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
656, 8, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
66 mblss 18994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( X [,] Y ) 
C_  RR )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
68 mblvol 18993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol * `  ( X [,] Y
) ) )
6965, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol * `  ( X [,] Y
) ) )
70 iccvolcl 19028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
716, 8, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
7269, 71eqeltrrd 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
73 ovolsscl 18949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y )  /\  ( X [,] Y )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( X [,] Y
) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( X (,) Y
) )  e.  RR )
7463, 67, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
7561, 74syl5eqel 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
76 iblconst 19276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { ( F `  C ) } )  e.  L ^1 )
7753, 75, 47, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  {
( F `  C
) } )  e.  L ^1 )
7859, 77syl5eqelr 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  C
) )  e.  L ^1 )
7944, 58, 48, 78iblsub 19280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  e.  L ^1 )
8051, 79, 48, 78itgadd 19283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( F `  C ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t ) )
8150, 80eqtr3d 2392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t ) )
8281adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  C
)  _d t ) )
83 itgconst 19277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  C
)  _d t  =  ( ( F `  C )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
8453, 75, 47, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t  =  ( ( F `  C )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  C )  _d t  =  ( ( F `  C
)  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
866adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  e.  RR )
878adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
88 ovolioo 19029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( vol * `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X ) )
8986, 87, 11, 88syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol * `
 ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X
) )
9061, 89syl5eq 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( Y  -  X ) )
9190oveq2d 5961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  C )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X ) ) )
9285, 91eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  C )  _d t  =  ( ( F `  C
)  x.  ( Y  -  X ) ) )
9392oveq2d 5961 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
9424, 82, 933eqtrd 2394 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  +  ( ( F `  C
)  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
9594oveq1d 5960 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  +  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
) )
96 ovex 5970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  e. 
_V
9796a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  e. 
_V )
9897, 79itgcl 19242 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  e.  CC )
9998adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  e.  CC )
10047adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
1018, 6resubcld 9301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
102101adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
103102recnd 8951 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  CC )
104100, 103mulcld 8945 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X
) )  e.  CC )
1056, 8posdifd 9449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
106105biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
107106gt0ne0d 9427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  =/=  0
)
10899, 104, 103, 107divdird 9664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
)  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X ) )  / 
( Y  -  X
) ) ) )
109100, 103, 107divcan4d 9632 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  C
)  x.  ( Y  -  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( F `  C
) )
110109oveq2d 5961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( F `  C ) ) )
11195, 108, 1103eqtrd 2394 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  C ) ) )
112111oveq1d 5960 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  C ) )  =  ( ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  C ) )  -  ( F `
 C ) ) )
11399, 103, 107divcld 9626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  e.  CC )
114113, 100pncand 9248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
)  +  ( F `
 C ) )  -  ( F `  C ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
115112, 114eqtrd 2390 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  C ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
116115fveq2d 5612 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  =  ( abs `  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) ) ) )
11799, 103, 107absdivd 12033 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( abs `  ( Y  -  X )
) ) )
118 0re 8928 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
119 ltle 9000 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Y  -  X
)  ->  0  <_  ( Y  -  X ) ) )
120118, 102, 119sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <  ( Y  -  X )  ->  0  <_  ( Y  -  X
) ) )
121106, 120mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( Y  -  X ) )
122102, 121absidd 12001 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( Y  -  X
) )  =  ( Y  -  X ) )
123122oveq2d 5961 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t )  / 
( abs `  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
124116, 117, 1233eqtrd 2394 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
12598abscld 12014 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  e.  RR )
126125adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  e.  RR )
12751abscld 12014 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  e.  RR )
12897, 79iblabs 19287 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  e.  L ^1 )
129127, 128itgrecl 19256 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  _d t  e.  RR )
130129adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  e.  RR )
131 ftc1.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
132131rpred 10482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
133101, 132remulcld 8953 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E
)  e.  RR )
134133adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E )  e.  RR )
13551, 79itgabs 19293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t )
136135adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t )
137106, 90breqtrrd 4130 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )
138132adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  RR )
139 fconstmpt 4814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { E }
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )
140132recnd 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
141 iblconst 19276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { E } )  e.  L ^1 )
14253, 75, 140, 141syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  { E } )  e.  L ^1 )
143139, 142syl5eqelr 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L ^1 )
144138, 143, 127, 128iblsub 19280 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) ) ) ) )  e.  L ^1 )
145144adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) ) ) )  e.  L ^1 )
146 ftc1.fc . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) )
147146ralrimiva 2702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) )
148147adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  E
) )
14915, 45sseldd 3257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
150 ftc1.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
151150rpred 10482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
152149, 151resubcld 9301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  -  R
)  e.  RR )
153152adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  -  R )  e.  RR )
1546adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  e.  RR )
15540, 15sstrd 3265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  RR )
156155sselda 3256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  RR )
157 ftc1.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  C )
)  <  R )
1586, 149, 151absdifltd 12012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  -  C )
)  <  R  <->  ( ( C  -  R )  <  X  /\  X  < 
( C  +  R
) ) ) )
159157, 158mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  R )  <  X  /\  X  <  ( C  +  R ) ) )
160159simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  -  R
)  <  X )
161160adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  -  R )  <  X
)
162 eliooord 10802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  ( X  <  t  /\  t  <  Y ) )
163162adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( X  <  t  /\  t  < 
Y ) )
164163simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  <  t )
165153, 154, 156, 161, 164lttrd 9067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  -  R )  <  t
)
1668adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  e.  RR )
167149, 151readdcld 8952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  +  R
)  e.  RR )
168167adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  +  R )  e.  RR )
169163simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  Y )
170 ftc1.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  C )
)  <  R )
1718, 149, 151absdifltd 12012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  C )
)  <  R  <->  ( ( C  -  R )  <  Y  /\  Y  < 
( C  +  R
) ) ) )
172170, 171mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( C  +  R ) ) )
173172simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  ( C  +  R ) )
174173adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  <  ( C  +  R ) )
175156, 166, 168, 169, 174lttrd 9067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  ( C  +  R ) )
176149adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  RR )
177151adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  R  e.  RR )
178156, 176, 177absdifltd 12012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( t  -  C ) )  < 
R  <->  ( ( C  -  R )  < 
t  /\  t  <  ( C  +  R ) ) ) )
179165, 175, 178mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( t  -  C
) )  <  R
)
180 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
y  -  C )  =  ( t  -  C ) )
181180fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( y  -  C ) )  =  ( abs `  (
t  -  C ) ) )
182181breq1d 4114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  <->  ( abs `  ( t  -  C
) )  <  R
) )
183 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
184183oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) ) )
185184fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) ) )
186185breq1d 4114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  <  E
) )
187182, 186imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E )  <-> 
( ( abs `  (
t  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) ) )
188187rspcv 2956 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E )  ->  ( ( abs `  ( t  -  C
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) ) )
18941, 148, 179, 188syl3c 57 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  <  E
)
190 difrp 10479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  e.  RR+ ) )
191127, 138, 190syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  e.  RR+ ) )
192189, 191mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  e.  RR+ )
193192adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  <  Y )  /\  t  e.  ( X (,) Y
) )  ->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  e.  RR+ )
194137, 145, 193itggt0 19300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  S. ( X (,) Y
) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) ) )  _d t )
195138, 143, 127, 128itgsub 19284 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )
196195adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) E  _d t  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t ) )
197 itgconst 19277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
19853, 75, 140, 197syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
199198adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
20090oveq2d 5961 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( E  x.  ( Y  -  X ) ) )
201101recnd 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
202140, 201mulcomd 8946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( Y  -  X )  x.  E ) )
203202adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( Y  -  X
) )  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
204199, 200, 2033eqtrd 2394 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
205204oveq1d 5960 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t )  =  ( ( ( Y  -  X )  x.  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )
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ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  _d t  =  ( ( ( Y  -  X
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ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
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( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )
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( Y  -  X
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209208biimpar 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
210207, 209syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
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ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  <  (
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)  _d t )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( ( Y  -  X )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X
) ) )  -> 
( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  /  ( Y  -  X )
)  <  E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) ) )
215212, 213, 102, 106, 214syl112anc 1186 . . 3  |-  ( (
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( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
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E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
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) )  <  E
)
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( Y  -  X
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) )  <  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158    X. cxp 4769   dom cdm 4771   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827    + caddc 8830    x. cmul 8832   RR*cxr 8956    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127    / cdiv 9513   RR+crp 10446   (,)cioo 10748   [,]cicc 10751   abscabs 11815   ↾t crest 13424   TopOpenctopn 13425  ℂfldccnfld 16482    CnP ccnp 17061   vol
*covol 18926   volcvol 18927   L ^1cibl 19076   S.citg 19077
This theorem is referenced by:  ftc1lem5  19491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cc 8151  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-disj 4075  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-ofr 6166  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-cmp 17220  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-ovol 18928  df-vol 18929  df-mbf 19079  df-itg1 19080  df-itg2 19081  df-ibl 19082  df-itg 19083  df-0p 19129
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