MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem4 Unicode version

Theorem ftc1lem4 19911
Description: Lemma for ftc1 19914. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
ftc1.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
ftc1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftc1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftc1.fc  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) )
ftc1.x1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1.x2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  C )
)  <  R )
ftc1.y1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
ftc1.y2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  C )
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  <  E
)
Distinct variable groups:    x, t,
y, z, C    t, D, x, y, z    y, G, z    t, A, x, y, z    t, B, x, y, z    t, X, x, z    t, E, y    y, H    ph, t, x, y, z    t, Y, x    t, F, x, y, z    x, L, y, z    y, R
Allowed substitution hints:    R( x, z, t)    E( x, z)    G( x, t)    H( x, z, t)    J( x, y, z, t)    K( x, y, z, t)    L( t)    X( y)    Y( y, z)

Proof of Theorem ftc1lem4
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ftc1.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 iccssre 10981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5 ftc1.x1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
64, 5sseldd 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
7 ftc1.y1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
84, 7sseldd 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
9 ltle 9152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
106, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
1110imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <_  Y )
12 ftc1.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
13 ftc1.le . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 ftc1.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
15 ftc1.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
16 ftc1.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
17 ftc1.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
18 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
19 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( Lt  RR )
20 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Lt  D )
21 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
2212, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21ftc1lem3 19910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
2312, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 22, 5, 7ftc1lem1 19907 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
2411, 23syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
251rexrd 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
26 elicc2 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
271, 2, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
285, 27mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) )
2928simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
30 iooss1 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  X )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) Y ) )
3125, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) Y ) )
322rexrd 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
33 elicc2 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
341, 2, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
357, 34mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) )
3635simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
37 iooss2 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  Y  <_  B )  ->  ( A (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3832, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
3931, 38sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
4039, 14sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  D )
4140sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  D )
4222ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4341, 42syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4414, 17sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
4522, 44ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4645adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
4743, 46npcand 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( F `  C ) )  =  ( F `  t
) )
4847itgeq2dv 19661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( F `  C ) )  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
4943, 46subcld 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  e.  CC )
50 ioombl 19447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
52 fvex 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5422feqmptd 5770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
5554, 16eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
5640, 51, 53, 55iblss 19684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
57 fconstmpt 4912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { ( F `
 C ) } )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 C ) )
58 mblvol 19414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  =  ( vol * `  ( X (,) Y
) ) )
5950, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( vol * `  ( X (,) Y ) )
60 ioossicc 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
62 iccmbl 19448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
636, 8, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
64 mblss 19415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( X [,] Y ) 
C_  RR )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
66 mblvol 19414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol * `  ( X [,] Y
) ) )
6763, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol * `  ( X [,] Y
) ) )
68 iccvolcl 19449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
696, 8, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
7067, 69eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
71 ovolsscl 19370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y )  /\  ( X [,] Y )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( X [,] Y
) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( X (,) Y
) )  e.  RR )
7261, 65, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
7359, 72syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
74 iblconst 19697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { ( F `  C ) } )  e.  L ^1 )
7551, 73, 45, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  {
( F `  C
) } )  e.  L ^1 )
7657, 75syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  C
) )  e.  L ^1 )
7743, 56, 46, 76iblsub 19701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  e.  L ^1 )
7849, 77, 46, 76itgadd 19704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( F `  C ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t ) )
7948, 78eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t ) )
8079adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  C
)  _d t ) )
81 itgconst 19698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  C
)  _d t  =  ( ( F `  C )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
8251, 73, 45, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t  =  ( ( F `  C )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
8382adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  C )  _d t  =  ( ( F `  C
)  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
846adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  e.  RR )
858adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
86 ovolioo 19450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( vol * `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X ) )
8784, 85, 11, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol * `
 ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X
) )
8859, 87syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( Y  -  X ) )
8988oveq2d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  C )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X ) ) )
9083, 89eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  C )  _d t  =  ( ( F `  C
)  x.  ( Y  -  X ) ) )
9190oveq2d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
9224, 80, 913eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  +  ( ( F `  C
)  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
9392oveq1d 6087 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  +  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
) )
94 ovex 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  e. 
_V
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  e. 
_V )
9695, 77itgcl 19663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  e.  CC )
9796adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  e.  CC )
9845adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
998, 6resubcld 9454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
10099adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
101100recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  CC )
10298, 101mulcld 9097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X
) )  e.  CC )
1036, 8posdifd 9602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
104103biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
105104gt0ne0d 9580 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  =/=  0
)
10697, 102, 101, 105divdird 9817 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
)  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X ) )  / 
( Y  -  X
) ) ) )
10798, 101, 105divcan4d 9785 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  C
)  x.  ( Y  -  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( F `  C
) )
108107oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( F `  C ) ) )
10993, 106, 1083eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  C ) ) )
110109oveq1d 6087 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  C ) )  =  ( ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  C ) )  -  ( F `
 C ) ) )
11197, 101, 105divcld 9779 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  e.  CC )
112111, 98pncand 9401 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
)  +  ( F `
 C ) )  -  ( F `  C ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
113110, 112eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  C ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
114113fveq2d 5723 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  =  ( abs `  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) ) ) )
11597, 101, 105absdivd 12245 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( abs `  ( Y  -  X )
) ) )
116 0re 9080 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
117 ltle 9152 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Y  -  X
)  ->  0  <_  ( Y  -  X ) ) )
118116, 100, 117sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <  ( Y  -  X )  ->  0  <_  ( Y  -  X
) ) )
119104, 118mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( Y  -  X ) )
120100, 119absidd 12213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( Y  -  X
) )  =  ( Y  -  X ) )
121120oveq2d 6088 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t )  / 
( abs `  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
122114, 115, 1213eqtrd 2471 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
12396abscld 12226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  e.  RR )
124123adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  e.  RR )
12549abscld 12226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  e.  RR )
12695, 77iblabs 19708 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  e.  L ^1 )
127125, 126itgrecl 19677 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  _d t  e.  RR )
128127adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  e.  RR )
129 ftc1.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
130129rpred 10637 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
13199, 130remulcld 9105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E
)  e.  RR )
132131adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E )  e.  RR )
13349, 77itgabs 19714 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t )
134133adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t )
135104, 88breqtrrd 4230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )
136130adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  RR )
137 fconstmpt 4912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { E }
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )
138130recnd 9103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
139 iblconst 19697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { E } )  e.  L ^1 )
14051, 73, 138, 139syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  { E } )  e.  L ^1 )
141137, 140syl5eqelr 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L ^1 )
142136, 141, 125, 126iblsub 19701 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) ) ) ) )  e.  L ^1 )
143142adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) ) ) )  e.  L ^1 )
144 ftc1.fc . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) )
145144ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) )
146145adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  E
) )
14715, 44sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
148 ftc1.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
149148rpred 10637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
150147, 149resubcld 9454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  -  R
)  e.  RR )
151150adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  -  R )  e.  RR )
1526adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  e.  RR )
15340, 15sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  RR )
154153sselda 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  RR )
155 ftc1.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  C )
)  <  R )
1566, 147, 149absdifltd 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  -  C )
)  <  R  <->  ( ( C  -  R )  <  X  /\  X  < 
( C  +  R
) ) ) )
157155, 156mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  R )  <  X  /\  X  <  ( C  +  R ) ) )
158157simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  -  R
)  <  X )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  -  R )  <  X
)
160 eliooord 10959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  ( X  <  t  /\  t  <  Y ) )
161160adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( X  <  t  /\  t  < 
Y ) )
162161simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  <  t )
163151, 152, 154, 159, 162lttrd 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  -  R )  <  t
)
1648adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  e.  RR )
165147, 149readdcld 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  +  R
)  e.  RR )
166165adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  +  R )  e.  RR )
167161simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  Y )
168 ftc1.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  C )
)  <  R )
1698, 147, 149absdifltd 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  C )
)  <  R  <->  ( ( C  -  R )  <  Y  /\  Y  < 
( C  +  R
) ) ) )
170168, 169mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( C  +  R ) ) )
171170simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  ( C  +  R ) )
172171adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  <  ( C  +  R ) )
173154, 164, 166, 167, 172lttrd 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  ( C  +  R ) )
174147adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  RR )
175149adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  R  e.  RR )
176154, 174, 175absdifltd 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( t  -  C ) )  < 
R  <->  ( ( C  -  R )  < 
t  /\  t  <  ( C  +  R ) ) ) )
177163, 173, 176mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( t  -  C
) )  <  R
)
178 oveq1 6079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
y  -  C )  =  ( t  -  C ) )
179178fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( y  -  C ) )  =  ( abs `  (
t  -  C ) ) )
180179breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  <->  ( abs `  ( t  -  C
) )  <  R
) )
181 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
182181oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) ) )
183182fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) ) )
184183breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  <  E
) )
185180, 184imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E )  <-> 
( ( abs `  (
t  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) ) )
186185rspcv 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E )  ->  ( ( abs `  ( t  -  C
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) ) )
18741, 146, 177, 186syl3c 59 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  <  E
)
188 difrp 10634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  e.  RR+ ) )
189125, 136, 188syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  e.  RR+ ) )
190187, 189mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  e.  RR+ )
191190adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  <  Y )  /\  t  e.  ( X (,) Y
) )  ->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  e.  RR+ )
192135, 143, 191itggt0 19721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  S. ( X (,) Y
) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) ) )  _d t )
193136, 141, 125, 126itgsub 19705 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )
194193adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) E  _d t  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t ) )
195 itgconst 19698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
19651, 73, 138, 195syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
197196adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
19888oveq2d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( E  x.  ( Y  -  X ) ) )
19999recnd 9103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
200138, 199mulcomd 9098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( Y  -  X )  x.  E ) )
201200adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( Y  -  X
) )  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
202197, 198, 2013eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
203202oveq1d 6087 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t )  =  ( ( ( Y  -  X )  x.  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )
204194, 203eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  _d t  =  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t ) )
205192, 204breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )
206127, 131posdifd 9602 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E )  <->  0  <  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t ) ) )
207206biimpar 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
208205, 207syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
209124, 128, 132, 134, 208lelttrd 9217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
21097abscld 12226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  e.  RR )
211130adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  E  e.  RR )
212 ltdivmul 9871 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( ( Y  -  X )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X
) ) )  -> 
( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  /  ( Y  -  X )
)  <  E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) ) )
213210, 211, 100, 104, 212syl112anc 1188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) )  < 
E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  <  ( ( Y  -  X )  x.  E ) ) )
214209, 213mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t )  / 
( Y  -  X
) )  <  E
)
215122, 214eqbrtrd 4224 1  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  <  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4867   dom cdm 4869   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979    + caddc 8982    x. cmul 8984   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280    / cdiv 9666   RR+crp 10601   (,)cioo 10905   [,]cicc 10908   abscabs 12027   ↾t crest 13636   TopOpenctopn 13637  ℂfldccnfld 16691    CnP ccnp 17277   vol
*covol 19347   volcvol 19348   L ^1cibl 19497   S.citg 19498
This theorem is referenced by:  ftc1lem5  19912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-ofr 6297  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-ovol 19349  df-vol 19350  df-mbf 19500  df-itg1 19501  df-itg2 19502  df-ibl 19503  df-itg 19504  df-0p 19550
  Copyright terms: Public domain W3C validator