MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2ditg Unicode version

Theorem ftc2ditg 19798
Description: Directed integral analog of ftc2 19796. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2ditg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ftc2ditg.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ftc2ditg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ftc2ditg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ftc2ditg.c  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
ftc2ditg.i  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  e.  L ^1 )
ftc2ditg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
ftc2ditg  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR 
_D  F ) `  t )  _d t  =  ( ( F `
 B )  -  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    t, A    t, B    t, F    ph, t    t, X    t, Y

Proof of Theorem ftc2ditg
StepHypRef Expression
1 ftc2ditg.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
2 ftc2ditg.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 iccssre 10925 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
5 ftc2ditg.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
64, 5sseldd 3293 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7 ftc2ditg.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
84, 7sseldd 3293 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
9 ftc2ditg.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
10 ftc2ditg.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  e.  L ^1 )
11 ftc2ditg.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )
121, 2, 5, 7, 9, 10, 11ftc2ditglem 19797 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t  =  ( ( F `  B )  -  ( F `  A ) ) )
13 fvex 5683 . . . . . 6  |-  ( ( RR  _D  F ) `
 t )  e. 
_V
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  t )  e.  _V )
15 cncff 18795 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  _D  F )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  ->  ( RR  _D  F ) : ( X (,) Y ) --> CC )
169, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( X (,) Y ) --> CC )
1716feqmptd 5719 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) ) )
1817, 10eqeltrrd 2463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( RR  _D  F ) `  t
) )  e.  L ^1 )
191, 2, 7, 5, 14, 18ditgswap 19614 . . . 4  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR 
_D  F ) `  t )  _d t  =  -u S__ [ B  ->  A ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t )
2019adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t  =  -u S__ [ B  ->  A ]
( ( RR  _D  F ) `  t
)  _d t )
211, 2, 7, 5, 9, 10, 11ftc2ditglem 19797 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ B  ->  A ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t  =  ( ( F `  A )  -  ( F `  B ) ) )
2221negeqd 9233 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u S__ [ B  ->  A ] ( ( RR  _D  F
) `  t )  _d t  =  -u (
( F `  A
)  -  ( F `
 B ) ) )
23 cncff 18795 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC )  ->  F :
( X [,] Y
) --> CC )
2411, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( X [,] Y ) --> CC )
2524, 5ffvelrnd 5811 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
2624, 7ffvelrnd 5811 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  CC )
2725, 26negsubdi2d 9360 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 A )  -  ( F `  B ) )  =  ( ( F `  B )  -  ( F `  A ) ) )
2827adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u ( ( F `  A )  -  ( F `  B ) )  =  ( ( F `  B )  -  ( F `  A )
) )
2920, 22, 283eqtrd 2424 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t  =  ( ( F `  B )  -  ( F `  A ) ) )
306, 8, 12, 29lecasei 9113 1  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR 
_D  F ) `  t )  _d t  =  ( ( F `
 B )  -  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923    <_ cle 9055    - cmin 9224   -ucneg 9225   (,)cioo 10849   [,]cicc 10852   -cn->ccncf 18778   L ^1cibl 19377   S__cdit 19379    _D cdv 19618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-itg 19384  df-ditg 19385  df-0p 19430  df-limc 19621  df-dv 19622
  Copyright terms: Public domain W3C validator