MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2ditg Unicode version

Theorem ftc2ditg 19387
Description: Directed integral analog of ftc2 19385. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2ditg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ftc2ditg.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ftc2ditg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ftc2ditg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ftc2ditg.c  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
ftc2ditg.i  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  e.  L ^1 )
ftc2ditg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
ftc2ditg  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR 
_D  F ) `  t )  _d t  =  ( ( F `
 B )  -  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    t, A    t, B    t, F    ph, t    t, X    t, Y

Proof of Theorem ftc2ditg
StepHypRef Expression
1 ftc2ditg.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
2 ftc2ditg.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 iccssre 10725 . . . 4  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
5 ftc2ditg.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
64, 5sseldd 3182 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7 ftc2ditg.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
84, 7sseldd 3182 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
9 ftc2ditg.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
10 ftc2ditg.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  e.  L ^1 )
11 ftc2ditg.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )
121, 2, 5, 7, 9, 10, 11ftc2ditglem 19386 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t  =  ( ( F `  B )  -  ( F `  A ) ) )
13 fvex 5499 . . . . . 6  |-  ( ( RR  _D  F ) `
 t )  e. 
_V
1413a1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  t )  e.  _V )
15 cncff 18391 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  _D  F )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  ->  ( RR  _D  F ) : ( X (,) Y ) --> CC )
169, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( X (,) Y ) --> CC )
1716feqmptd 5536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) ) )
1817, 10eqeltrrd 2359 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( RR  _D  F ) `  t
) )  e.  L ^1 )
191, 2, 7, 5, 14, 18ditgswap 19203 . . . 4  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR 
_D  F ) `  t )  _d t  =  -u S__ [ B  ->  A ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t )
2019adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t  =  -u S__ [ B  ->  A ]
( ( RR  _D  F ) `  t
)  _d t )
211, 2, 7, 5, 9, 10, 11ftc2ditglem 19386 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ B  ->  A ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t  =  ( ( F `  A )  -  ( F `  B ) ) )
2221negeqd 9041 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u S__ [ B  ->  A ] ( ( RR  _D  F
) `  t )  _d t  =  -u (
( F `  A
)  -  ( F `
 B ) ) )
23 cncff 18391 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC )  ->  F :
( X [,] Y
) --> CC )
2411, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( X [,] Y ) --> CC )
25 ffvelrn 5624 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( X [,] Y ) --> CC 
/\  A  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( F `  A )  e.  CC )
2624, 5, 25syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
27 ffvelrn 5624 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( X [,] Y ) --> CC 
/\  B  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
2824, 7, 27syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  CC )
2926, 28negsubdi2d 9168 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 A )  -  ( F `  B ) )  =  ( ( F `  B )  -  ( F `  A ) ) )
3029adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u ( ( F `  A )  -  ( F `  B ) )  =  ( ( F `  B )  -  ( F `  A )
) )
3120, 22, 303eqtrd 2320 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR  _D  F ) `
 t )  _d t  =  ( ( F `  B )  -  ( F `  A ) ) )
326, 8, 12, 31lecasei 8921 1  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( RR 
_D  F ) `  t )  _d t  =  ( ( F `
 B )  -  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731    <_ cle 8863    - cmin 9032   -ucneg 9033   (,)cioo 10650   [,]cicc 10653   -cn->ccncf 18374   L ^1cibl 18966   S__cdit 18968    _D cdv 19207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-ofr 6040  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-ovol 18818  df-vol 18819  df-mbf 18969  df-itg1 18970  df-itg2 18971  df-ibl 18972  df-itg 18973  df-ditg 18974  df-0p 19019  df-limc 19210  df-dv 19211
  Copyright terms: Public domain W3C validator