Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucinv Structured version   Unicode version

Theorem fucinv 14170
 Description: Two natural transformations are inverses of each other iff all the components are inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fuciso.q FuncCat
fuciso.b
fuciso.n Nat
fuciso.f
fuciso.g
fucinv.i Inv
fucinv.j Inv
Assertion
Ref Expression
fucinv
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fucinv
StepHypRef Expression
1 fuciso.q . . . 4 FuncCat
2 fuciso.b . . . 4
3 fuciso.n . . . 4 Nat
4 fuciso.f . . . 4
5 fuciso.g . . . 4
6 eqid 2436 . . . 4 Sect Sect
7 eqid 2436 . . . 4 Sect Sect
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7fucsect 14169 . . 3 Sect Sect
91, 2, 3, 5, 4, 6, 7fucsect 14169 . . 3 Sect Sect
108, 9anbi12d 692 . 2 Sect Sect Sect Sect
111fucbas 14157 . . 3
12 fucinv.i . . 3 Inv
13 funcrcl 14060 . . . . . 6
144, 13syl 16 . . . . 5
1514simpld 446 . . . 4
1614simprd 450 . . . 4
171, 15, 16fuccat 14167 . . 3
1811, 12, 17, 4, 5, 6isinv 13985 . 2 Sect Sect
19 eqid 2436 . . . . . . 7
20 fucinv.j . . . . . . 7 Inv
2116adantr 452 . . . . . . 7
22 relfunc 14059 . . . . . . . . . 10
23 1st2ndbr 6396 . . . . . . . . . 10
2422, 4, 23sylancr 645 . . . . . . . . 9
252, 19, 24funcf1 14063 . . . . . . . 8
2625ffvelrnda 5870 . . . . . . 7
27 1st2ndbr 6396 . . . . . . . . . 10
2822, 5, 27sylancr 645 . . . . . . . . 9
292, 19, 28funcf1 14063 . . . . . . . 8
3029ffvelrnda 5870 . . . . . . 7
3119, 20, 21, 26, 30, 7isinv 13985 . . . . . 6 Sect Sect
3231ralbidva 2721 . . . . 5 Sect Sect
33 r19.26 2838 . . . . 5 Sect Sect Sect Sect
3432, 33syl6bb 253 . . . 4 Sect Sect
3534anbi2d 685 . . 3 Sect Sect
36 df-3an 938 . . 3
37 df-3an 938 . . . . 5 Sect Sect
38 3ancoma 943 . . . . . 6 Sect Sect
39 df-3an 938 . . . . . 6 Sect Sect
4038, 39bitri 241 . . . . 5 Sect Sect
4137, 40anbi12i 679 . . . 4 Sect Sect Sect Sect
42 anandi 802 . . . 4 Sect Sect Sect Sect
4341, 42bitr4i 244 . . 3 Sect Sect Sect Sect
4435, 36, 433bitr4g 280 . 2 Sect Sect
4510, 18, 443bitr4d 277 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   class class class wbr 4212   wrel 4883  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  cbs 13469  ccat 13889  Sectcsect 13970  Invcinv 13971   cfunc 14051   Nat cnat 14138   FuncCat cfuc 14139 This theorem is referenced by:  invfuc  14171  fuciso  14172 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-hom 13553  df-cco 13554  df-cat 13893  df-cid 13894  df-sect 13973  df-inv 13974  df-func 14055  df-nat 14140  df-fuc 14141
 Copyright terms: Public domain W3C validator