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Theorem fun11 5479
Description: Two ways of stating that  A is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un2 (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
fun11  |-  ( ( Fun  `' `' A  /\  Fun  `' A )  <->  A. x A. y A. z A. w ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, A

Proof of Theorem fun11
StepHypRef Expression
1 dfbi2 610 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  <->  y  =  w )  <->  ( (
x  =  z  -> 
y  =  w )  /\  ( y  =  w  ->  x  =  z ) ) )
21imbi2i 304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) )  <->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
( ( x  =  z  ->  y  =  w )  /\  (
y  =  w  ->  x  =  z )
) ) )
3 pm4.76 837 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  w ) )  /\  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( y  =  w  ->  x  =  z ) ) )  <->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
( ( x  =  z  ->  y  =  w )  /\  (
y  =  w  ->  x  =  z )
) ) )
4 bi2.04 351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  ->  y  =  w ) )  <->  ( x  =  z  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) ) )
5 bi2.04 351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( y  =  w  ->  x  =  z ) )  <->  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
64, 5anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  w ) )  /\  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( y  =  w  ->  x  =  z ) ) )  <->  ( (
x  =  z  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) ) )
72, 3, 63bitr2i 265 . . . . . 6  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) )  <->  ( (
x  =  z  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) ) )
872albii 1573 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  A. x A. y
( ( x  =  z  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) ) )
9 19.26-2 1601 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  =  z  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )  <->  ( A. x A. y ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  A. x A. y ( y  =  w  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) ) )
10 alcom 1748 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  <->  A. y A. x ( x  =  z  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) ) )
11 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )
12 breq1 4179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x A y  <->  z A
y ) )
1312anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  <->  ( z A y  /\  z A w ) ) )
1413imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  <->  ( (
z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) ) )
1511, 14equsal 1966 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( x  =  z  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )  <->  ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )
1615albii 1572 . . . . . . 7  |-  ( A. y A. x ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  <->  A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
1710, 16bitri 241 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  <->  A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
18 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
19 breq2 4180 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
x A y  <->  x A w ) )
2019anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( x A y  /\  z A w )  <->  ( x A w  /\  z A w ) ) )
2120imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  ( (
x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
2218, 21equsal 1966 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  =  w  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)  <->  ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)
2322albii 1572 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( y  =  w  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )  <->  A. x
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
2417, 23anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( x  =  z  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )  /\  A. x A. y ( y  =  w  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )  <->  ( A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) )
258, 9, 243bitri 263 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  ( A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
26252albii 1573 . . 3  |-  ( A. z A. w A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  A. z A. w
( A. y ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
27 19.26-2 1601 . . 3  |-  ( A. z A. w ( A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )  <->  ( A. z A. w A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  /\  A. z A. w A. x
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) )
2826, 27bitr2i 242 . 2  |-  ( ( A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)  <->  A. z A. w A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) ) )
29 fun2cnv 5476 . . . 4  |-  ( Fun  `' `' A  <->  A. z E* y 
z A y )
30 breq2 4180 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
z A y  <->  z A w ) )
3130mo4 2291 . . . . 5  |-  ( E* y  z A y  <->  A. y A. w ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
3231albii 1572 . . . 4  |-  ( A. z E* y  z A y  <->  A. z A. y A. w ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )
33 alcom 1748 . . . . 5  |-  ( A. y A. w ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  <->  A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
3433albii 1572 . . . 4  |-  ( A. z A. y A. w
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  <->  A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
3529, 32, 343bitri 263 . . 3  |-  ( Fun  `' `' A  <->  A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )
36 funcnv2 5473 . . . 4  |-  ( Fun  `' A  <->  A. w E* x  x A w )
37 breq1 4179 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x A w  <->  z A w ) )
3837mo4 2291 . . . . 5  |-  ( E* x  x A w  <->  A. x A. z ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
3938albii 1572 . . . 4  |-  ( A. w E* x  x A w  <->  A. w A. x A. z ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)
40 alcom 1748 . . . . . 6  |-  ( A. x A. z ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. z A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
4140albii 1572 . . . . 5  |-  ( A. w A. x A. z
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. w A. z A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
42 alcom 1748 . . . . 5  |-  ( A. w A. z A. x
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
4341, 42bitri 241 . . . 4  |-  ( A. w A. x A. z
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
4436, 39, 433bitri 263 . . 3  |-  ( Fun  `' A  <->  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)
4535, 44anbi12i 679 . 2  |-  ( ( Fun  `' `' A  /\  Fun  `' A )  <-> 
( A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
46 alrot4 1750 . 2  |-  ( A. x A. y A. z A. w ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  A. z A. w A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) ) )
4728, 45, 463bitr4i 269 1  |-  ( ( Fun  `' `' A  /\  Fun  `' A )  <->  A. x A. y A. z A. w ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E*wmo 2259   class class class wbr 4176   `'ccnv 4840   Fun wfun 5411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pr 4367
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-br 4177  df-opab 4231  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-fun 5419
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