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Theorem fun11 5218
Description: Two ways of stating that  A is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un2 (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
fun11  |-  ( ( Fun  `' `' A  /\  Fun  `' A )  <->  A. x A. y A. z A. w ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, A

Proof of Theorem fun11
StepHypRef Expression
1 dfbi2 612 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  <->  y  =  w )  <->  ( (
x  =  z  -> 
y  =  w )  /\  ( y  =  w  ->  x  =  z ) ) )
21imbi2i 305 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) )  <->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
( ( x  =  z  ->  y  =  w )  /\  (
y  =  w  ->  x  =  z )
) ) )
3 pm4.76 841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  w ) )  /\  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( y  =  w  ->  x  =  z ) ) )  <->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
( ( x  =  z  ->  y  =  w )  /\  (
y  =  w  ->  x  =  z )
) ) )
4 bi2.04 352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  ->  y  =  w ) )  <->  ( x  =  z  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) ) )
5 bi2.04 352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( y  =  w  ->  x  =  z ) )  <->  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
64, 5anbi12i 681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  w ) )  /\  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( y  =  w  ->  x  =  z ) ) )  <->  ( (
x  =  z  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) ) )
72, 3, 63bitr2i 266 . . . . . 6  |-  ( ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) )  <->  ( (
x  =  z  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) ) )
872albii 1555 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  A. x A. y
( ( x  =  z  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) ) )
9 19.26-2 1593 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  =  z  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  ( y  =  w  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )  <->  ( A. x A. y ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  /\  A. x A. y ( y  =  w  -> 
( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) ) )
10 alcom 1568 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  <->  A. y A. x ( x  =  z  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) ) )
11 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )
12 breq1 3966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x A y  <->  z A
y ) )
1312anbi1d 688 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  <->  ( z A y  /\  z A w ) ) )
1413imbi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  <->  ( (
z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) ) )
1511, 14equsal 1851 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( x  =  z  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )  <->  ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )
1615albii 1554 . . . . . . 7  |-  ( A. y A. x ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  <->  A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
1710, 16bitri 242 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( x  =  z  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )  <->  A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
18 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
19 breq2 3967 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
x A y  <->  x A w ) )
2019anbi1d 688 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( x A y  /\  z A w )  <->  ( x A w  /\  z A w ) ) )
2120imbi1d 310 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  ( (
x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
2218, 21equsal 1851 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  =  w  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)  <->  ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)
2322albii 1554 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( y  =  w  ->  (
( x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )  <->  A. x
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
2417, 23anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( x  =  z  ->  ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )  /\  A. x A. y ( y  =  w  ->  ( (
x A y  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )  <->  ( A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) )
258, 9, 243bitri 264 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  ( A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
26252albii 1555 . . 3  |-  ( A. z A. w A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  A. z A. w
( A. y ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
27 19.26-2 1593 . . 3  |-  ( A. z A. w ( A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )  <->  ( A. z A. w A. y
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  /\  A. z A. w A. x
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) ) )
2826, 27bitr2i 243 . 2  |-  ( ( A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)  <->  A. z A. w A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) ) )
29 fun2cnv 5215 . . . 4  |-  ( Fun  `' `' A  <->  A. z E* y 
z A y )
30 breq2 3967 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
z A y  <->  z A w ) )
3130mo4 2149 . . . . 5  |-  ( E* y  z A y  <->  A. y A. w ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
3231albii 1554 . . . 4  |-  ( A. z E* y  z A y  <->  A. z A. y A. w ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )
33 alcom 1568 . . . . 5  |-  ( A. y A. w ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  <->  A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
3433albii 1554 . . . 4  |-  ( A. z A. y A. w
( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w )  <->  A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  ->  y  =  w ) )
3529, 32, 343bitri 264 . . 3  |-  ( Fun  `' `' A  <->  A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w ) )
36 funcnv2 5212 . . . 4  |-  ( Fun  `' A  <->  A. w E* x  x A w )
37 breq1 3966 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x A w  <->  z A w ) )
3837mo4 2149 . . . . 5  |-  ( E* x  x A w  <->  A. x A. z ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
3938albii 1554 . . . 4  |-  ( A. w E* x  x A w  <->  A. w A. x A. z ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)
40 alcom 1568 . . . . . 6  |-  ( A. x A. z ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. z A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
4140albii 1554 . . . . 5  |-  ( A. w A. x A. z
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. w A. z A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
42 alcom 1568 . . . . 5  |-  ( A. w A. z A. x
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
4341, 42bitri 242 . . . 4  |-  ( A. w A. x A. z
( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )  <->  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z ) )
4436, 39, 433bitri 264 . . 3  |-  ( Fun  `' A  <->  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
)
4535, 44anbi12i 681 . 2  |-  ( ( Fun  `' `' A  /\  Fun  `' A )  <-> 
( A. z A. w A. y ( ( z A y  /\  z A w )  -> 
y  =  w )  /\  A. z A. w A. x ( ( x A w  /\  z A w )  ->  x  =  z )
) )
46 alrot4 1611 . 2  |-  ( A. x A. y A. z A. w ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) )  <->  A. z A. w A. x A. y ( ( x A y  /\  z A w )  ->  ( x  =  z  <->  y  =  w ) ) )
4728, 45, 463bitr4i 270 1  |-  ( ( Fun  `' `' A  /\  Fun  `' A )  <->  A. x A. y A. z A. w ( ( x A y  /\  z A w )  -> 
( x  =  z  <-> 
y  =  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532    = wceq 1619   E*wmo 2118   class class class wbr 3963   `'ccnv 4625   Fun wfun 4632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-opab 4018  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-fun 4648
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