Theorem funbrfvb 3755

Description: Equivalence of function value and binary relation.

Hypothesis

Ref	Expression
funbrfvb.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
funbrfvb	|- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> AFB))

Proof of Theorem funbrfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfvb.1	. . 3 |- B e. V
2	1	fnbrfvb 3753	. 2 |- ((F Fn dom F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> AFB))
3		df-fn 3193	. . 3 |- (F Fn dom F <-> (Fun F /\ dom F = dom F))
4		eqid 1475	. . 3 |- dom F = dom F
5	3, 4	mpbiran2 729	. 2 |- (F Fn dom F <-> Fun F)
6	2, 5	sylanbr 450	1 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> AFB))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  funopfvb 3756  funbrfvbg 3757  dfimafn 3761  funimass4 3763  funiunfv 3866

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain